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Fonction à deux variables

Posté par
koal
25-08-13 à 12:59

Salut à tous,
Voici l'énoncé il y a quelques question je ne suis pas sûre est-ce que quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Soit la fonction f ( x,y) = ( x + 2y)^2 - log ( xy)

1. Quel est le domaine de cette fonction ?
J'ai répondu : Df: ( x,y in R^2 sachant que xy>0 )
est-ce que c'est juste ?

2. Ce domaine forme-t-il un ensemble convexe ?
je n'arrive pas à répondre à cette question

5. Quel est le gradient de f ?
j'ai trouvé pour dérivée partielle de x : 2(x+2y)-1/x
et pour celle de y : 4(x+2y)-1/y
est-ce correct ?

4. Trouver l'ensemble des points stationnaire ?
je n'arrive pas résoudre l'équation je ne sais pas comment m'y prendre ...

5. Quelle est la matrice Hessienne ?
j'ai trouvé  H ( 2+1/x^2            4)
                  4           8+1/y^2      

6. Les colonnes de H sont-elles toujours linéairement indépendantes quelque soit le point (x,y ) du domaine ?
je n'arrive pas à répondre

Merci pour votre aide et bonne journée

Posté par
kybjm
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 14:39

f est définie sur = { (x,y) ² | xy > 1 }
.Sais-tu ce qu'est un sous ensemble convexe de ² ?
.Si oui , et si tu as  " dessiné " , tu dois pouvoir dire si est convexe ou non .

Posté par
koal
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 14:54

Ha oui juste pour le domaine j'ai compris mon erreur
par contre je ne sais pas ce qu'est un sous ensemble convexe ?
merci d'avance

Posté par
DOMOREA
Fonction à deux variables 25-08-13 à 15:06

Bonjour,
Ta hessienne est exacte biensûr
Pour l'indépendance, calcule le déterminant de ta hessienne

Posté par
DOMOREA
Fonction à deux variables 25-08-13 à 15:14

Re
j'ai oublié la question précédente.
Tu as calculé le gradient...
résous grad(f)=0
tu as deux équations  non linéaires à 2 inconnues facile à résoudre

Posté par
koal
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 15:34

Ok pour le déterminant de la Hessienne c'est ce que je pensais faire , mais comment je peux résoudre le système après vu qu'il y a deux variables pour trouver le dét ?
( désolée ce sont de toute nouvelle notions je peine encore )

Posté par
koal
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 15:42

donc pour les points stationnaires :
je dois poser
2x + 4y - 1/x = 0
4x + 8y -1/y = 0  
?

Posté par
delta-B
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 15:54

Bonjour.

@kybjm

Citation :
f est définie sur = { (x,y) ² | xy > 1 }


Le domaine de définition de f est bien   = { (x,y) ² | xy > \red{0} }, la fonction loq est définie sur ]0,+[ et non sur ]1,+[.

Posté par
DOMOREA
Fonction à deux variables 25-08-13 à 16:06

Bonjour,

Tu peux exprimer x+2y de deux manières
après çà marche tout seul ...

Posté par
koal
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 16:53

Alors je crois que j'ai trouvé les points stationnaires
x= 1/2 et y=1/4

Posté par
delta-B
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 16:54

Bonjour.

@koal

Pour la résolution du système
2x + 4y - 1/x = 0
4x + 8y -1/y = 0
tu peux suivre la voie que t'a proposé DOMERA ou poser u=2x+4y.

Posté par
koal
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 16:56

Par contre je suis toujours bloquée pour la question :
Ce domaine forme-t-il un ensemble convexe ??

Posté par
koal
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 17:01

Oui merci c'est gentil j'ai trouvé les solutions aux systèmes j'ai posté la réponse plus haut par contre je suis toujours bloquée pour l'ensemble convexe

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 17:06

Bonjour

Un domaine D est convexe si et seulement si

A\in D \et \ B\in D\Longrightarrow [AB]\subset D

ou [AB] est le segment d'extrémités A et B

Posté par
koal
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 17:42

Ok pour la définition mais alors comment l'appliquer à mon exercice et a cette question ?

Posté par
koal
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 18:02

Je crois que j'ai peut-être compris mais j'aurai besoin que quelqu'un me confirme ma réponse ( svp mon exam est demain ...)
si A= 0 et B = 1
donc [0,1] n'est pas inclus dans le domaine car xy doit > 0 donc mon domaine n'est pas convexe
c'est juste ou pas ?

Posté par
DOMOREA
Fonction à deux variables 25-08-13 à 18:47

mauvaise réponse
Il te faut deux points du domaine A(x,y) et B(x',y') et pas tout à fait quelconques pour parvenir à une contradiction

Posté par
koal
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 19:06

bon ... alors est-ce que quelqu'un peut me donner la réponse à ma question
mon examen est demain il faut absolument que je comprenne cette histoire de Domaine Convexe ou pas ...

Posté par
koal
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 19:07

Donc la solution à cette question est : que le domaine forme un ensemble convexe ?
Quelqu'un peut-il me donner un exemple ?
merci à tous

Posté par
delta-B
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 19:55

Bonjour.

@koal.

Les 2 points A(4,1) et B(-1,-1) sont bien des points de =Df, le segment [AB] est-il contenu dans .
Si tu avais "dessiné" et hachuré , la réponse t'aurait sauté aux yeux.

Posté par
koal
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 21:14

ok merci beaucoup avec le schéma c'est bien clair !

Posté par
koal
re : Fonction à deux variables 25-08-13 à 21:18

ok donc si j'ai bien compris, il suffit de choisir deux points et A et B et vérifier qu'ils se trouvent dans notre domaine si on trouve un contre-exemple la fonction n'est pas convexe ?
merci et bonne soirée !

Posté par
delta-B
re : Fonction à deux variables 26-08-13 à 15:24

Bounjour.

@koal.

Citation :
ok donc si j'ai bien compris, il suffit de choisir deux points et A et B et vérifier qu'ils se trouvent dans notre domaine si on trouve un contre-exemple la fonction n'est pas convexe ?
merci et bonne soirée !

Attention, il ne faut confondre ensemble convexe et fonction convexe.
il suffit de choisir deux points et A et B du domaine D tels que le segment [AB] ne soit pas entièrement contenu dans D ( l'intersection du segment [AB] et du complémentaire de D n'est pas vide) pour conclure que le domaine n'est pas convexe (et non la fonction n'est pas convexe).

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