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Fonction composée

Posté par
beugg 03-07-16 à 15:04

Bonjour

J'aurais besoin d'aide pour cet exercice.

L'énoncé:

On considère les fonctions f et g R vers R définies par: f(x)=\dfrac{2x+1}{x-2} , g(x)= \sqrt{x-1}

1. Déterminer l'ensemble de définition de : g?f  ,f?g  , g?g  et  f?f.

2. Déterminer la formule explicite de: g?f(x) , f?g(x) , g?g(x) et f?f(x).

Mes réponses :

1/

g?f,

g?f existe <==> x    Df et f(x) Dg

Alors x Df ==> x 2

g(x) existe <==> x 1 ==> f(x) 1  ==>

\dfrac{x+3}{x-2} 0

f"(x) existe <==> x2.


En somme D(g?f)= R\{2}

C'est bon ?

Merci d'avance

Posté par
carpediemre : Fonction composée 03-07-16 à 15:37

salut

la composée de f suivie de g se note g o f ...

posons F = {x <> 2} (ensemble de définition de f) et G = {x >= 1} (ensemble de définition de g)

g o f(x)  existe <=> x F et f(x) G <=> x <> 2 et f(x) >= 1 <=> x <> 2 et (x + 3)/(x - 2) >= 0

il faut résoudre correctement cette inéquation !!!

Posté par
beuggre : Fonction composée 04-07-16 à 00:32

Ok

x -3 et x > 2

Donc

D(g o f) = ]-, -3]U]2, +[ ?

Posté par
Mouchkire : Fonction composée 04-07-16 à 01:19

beugg @ 04-07-2016 à 00:32

Ok

x -3 et x > 2

Donc

D(g o f) = ]-, -3]U]2, +[ ?


Bonsoir , Puisque t'as un ' et ' alors c'est l'intersection , donc c'est ]2,+[

Posté par
mdr_nonre : Fonction composée 04-07-16 à 01:50

bonsoir : )

*** *** ***
Soient A et B deux parties de \R et f : A \longrightarrow \R et g : B \longrightarrow \R.
Si pour tout x \in A nous avons f(x) \in B alors on peut construire une nouvelle fonction, g \circ f définie sur A par : pour tout x \in A, g \circ f (x) = g(f(x)).
*** *** ***
Il faut bien que tu comprennes ceci :
Pour parler de g(f(x)) pour tout x \in A, il faut absolument que, pour tout x \in A, f(x) soit élément de l'ensemble de définition de g, ici B ; c'est à dire qu'on doit avoir pour tout x \in A, f(x) \in B.
*** *** ***

Je te détaille un exemple pour la fonction x \longmapsto \sqrt{1 - x} qui est la composée de la fonction f : x \longmapsto 1 - x suivie de la fonction g : x \longmapsto \sqrt{x}.

1) Domaines de f et g :

La fonction f : x \longmapsto 1 - x est définie sur D_f = \R et la fonction g : x \longmapsto \sqrt{x} est définie sur D_g = \R_+.


2) Recherche des x \in D_f tels que f(x) \in D_g :

Question : Pour quels x \in D_f a-t-on f(x) \in D_g ?
Car lorsque x \in D_f = \R, f(x) = 1 - x n'appartient pas toujours à D_g = \R_+.

Réponse : Soit x \in D_f.
f(x) \in D_g si et seulement si 1 - x \geq 0 si et seulement si 1 \geq x.
Donc en fait, pour tout \red x \in D_f \cap ]-\infty , 1] = ]-\infty , 1], f(x) \in D_g.

3) Conclusion :

La fonction g \circ f : x \longmapsto \sqrt{1 - x} est définie sur ]-\infty , 1].

*** *** ***

A toi maintenant.

Posté par
mdr_nonre : Fonction composée 04-07-16 à 01:52

Mouchki,
N'oublie pas tes topics.

Posté par
Mouchkire : Fonction composée 04-07-16 à 19:06

mdr_non @ 04-07-2016 à 01:52

Mouchki,
N'oublie pas tes topics.

Oui Oui merci ^^

Posté par
beuggre : Fonction composée 25-07-16 à 13:56

Bonjour mes amis

Avec plaisir d'avoir la chance de revenir

Je suis désolé pour le retard ,je sais que ça ne vs embête pas

Juste pour reprendre le travail d'un seul coup ,par la main  

Alors on continue cet exercice.

Donc D(g o f) = ]2, +00[


Pour la composée de g suivie de f: f o g ,

D(f o g) = [1,5[U]5, +00[

C'est bon ?

Merci

Posté par
mdr_nonre : Fonction composée 25-07-16 à 14:17

1) Non. D_{g \circ f} = \left\{x\in\R : x \leq -3 {\red \text{ ou }} x > 2\right\} = ]-\infty , -3] \cup ]2 , \infty[

2) Oui. D_{f \circ g} = [1 , 5[ \cup ]5 , \infty[

Posté par
beuggre : Fonction composée 25-07-16 à 14:49

Merci mdr_non

Pour g o g ,

Dg= [1, +00[
Si et seulement si ,
Pour tout x Dg [2, +[= [2, +[ , g(x) Dg

Alors D(g o g)= [2, +[  ?

Posté par
mdr_nonre : Fonction composée 25-07-16 à 15:31

Oui. D_{g \circ g} = [2 , \infty[.

Mais ta justification est étrange.

Posté par
mdr_nonre : Fonction composée 25-07-16 à 15:33

Quand je dis ta justification est étange, c'est juste le si et seulement si que tu as mis. Tu peux l'enlever il ne veut rien dire tel que.

Posté par
beuggre : Fonction composée 25-07-16 à 21:13

D'accord
f o f :

Df= R \ { 2}

On a 0x 5


Pour tout x Df , f (x) Df

Alors D (f o f)=

C'est bon ?

Merci

Posté par
mdr_nonre : Fonction composée 25-07-16 à 21:28

Non. Essaie de rédiger proprement.

Pour tout x \in D_f :
f(x) \in D_f si et seulement si 0\times x = 0 \neq 5 (ceci seul est toujours vrai pour tout x \in \R).

Donc en fait, \forall x \in D_f, f(x) \in D_f.

Donc, D_{f \circ f} = D_f

Posté par
beuggre : Fonction composée 25-07-16 à 22:52

Ok

2/

g o f ( x ) = g ( f (x))=\sqrt{\frac{x+3}{x-2}}

De même

f o g (x)= \frac{2\sqrt{x-1}+1}{\sqrt {x-1}-2}

g o g (x)= \sqrt {\sqrt {x-1}-1}


f o f (x)= \frac{5x}{5}

C'est bon ?

Merci

Posté par
mdr_nonre : Fonction composée 25-07-16 à 23:01

Oui tout est bon.

Pour l'expression de f \circ g on peut aussi écrire d'un façon plus agréable \forall x \in D_{f \circ g}, f(g(x)) = \frac{2x + 5\sqrt{x - 1}}{x - 5} et de même pour f \circ f, \forall x \in D_{f \circ f}, f(f(x)) = x.

Posté par
beuggre : Fonction composée 25-07-16 à 23:25

Oui merci beaucoup

C'est très généreux de votre part monsieur mdr_non

Merci à tous

À très bientôt

Posté par
mdr_nonre : Fonction composée 25-07-16 à 23:31

Je t'en prie : ) Bonne continuation : )


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