Bonsoir, avant tout je vous remercie d'avoir cliqué sur le sujet pour décidé de m'aider.
Je suis sur un exercice d'Anlyse et je bloque déjà à la première question je ne sais pas par où attaquer le problème. En voici l'énoncé :
Exercice.
Soit f : [a, b] → C (C des complexes) une fonction (R)-intégrable.
(1) On suppose que f est continue et qu'il existe un point t0 ∈ [a, b] tel que
f(t0)= 0. Montrer qu'on peut trouver un intervalle non trivial [α, β] ⊆ [a, b]
et une constante η > 0 tels que |f(t)| ≥ η pour tout t ∈ [α, β].

(2) On suppose que f est continue. Montrer que si intégrale entre a et b de valeur absolue de f(t)=0  ,alors f = 0.
(3) Montrer que le résultat de (2) est faux si f n'est pas supposée continue.

J'en suis à la première question :

J'ai utiliser la définition d'une fonction continue :

Une fonction est dite continue sur un intervalle I si et seulement si pour tout x0 appartenant à I f est continue en x0

Ainsi j'ai déterminer que f(t) est continue en t=t0 donc ce qui signifie que:

lim quand t tend vers t0 = f(t0)

Je suis en suite "remonter dans les définitions pour arriver à celle de la limite qui est :

Supposons que f : U → R soit une application définie sur un sous-ensemble U de l'ensemble R des réels. Si p est un réel, n'appartenant pas nécessairement à U mais tel que f soit « définie au voisinage 1 de p », on dit que f admet une limite (finie) au point p, s'il existe un réel L vérifiant
pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x dans U tel que |x - p| < δ, on ait |f(x) - L| < ε. Ce qui s'écrit :
∀ε > 0 ,∃ δ > 0 ,∀ x ∈ U ,|x - p| < δ ⇒ |f(x)-L|<ε

Je l'ai écrit pour lim quand t tend vers t0 = l
∀ε > 0 ,∃ δ > 0 ,∀ t ∈ C ,|t - t0| < δ ⇒ |f(t)-l|<ε

Ainsi on m'a proposer de prouver que  pour lim quand t tend vers t0 = l (l>0) il existe un intervalle [α, β]  contenant t0 tel que pour tout t ∈ [α, β] on ait f(x)> (l/2)

De ce fait je me suis dit pourquoi ne pas prendre η qui vaut ε et d'utiliser la définition :
∀ε > 0 ,∃ δ > 0 ,∀ t ∈ C ,|t - t0| < δ ⇒ |f(t)-l|<ε car η > 0 nous dit l'énoncé. Je sais que je suis presque au bout qui peut m'aider à conclure ?

Merci d'avance pour toute aide.