Bonjour,
bin en général c'est faux donc si tu ne donnes pas ta fonction ...

non ce n'est pas ca mais je veux : une fonction est integrable ssi ... si tuvois ce que je veux dire !!

Lis ton cours ...

Une fonction ***positive*** f est intégrable sur l'intervalle I si et seulement si il existe une exhaustion (In)n de I telle que (intégrale de f sur In)n converge. (la définition exacte d'intégrabilité est différente, mais équivalente).

Une fonction quelconque f est intégrable ssi |f| est intégrable.

Exemple: f : t -> exp(-t)  est intégrable sur R+  car:

- f est positive sur R+
- intégrale de 0 à x de f vaut 1 - exp(-x) pour tout x dans R, quantité qui possède une limite égale à 1 en +infini. [revient à choisir l'exhaustion ([0,n])n de R+].

merci enormement ulusse !
je vais dire quelquechose et si elle est fausse dis le !!
une fonction est integrable sur IR+ ssi (soit elle est continue sur IR+ et en infini soit elle est discontinue en un point par exemple lnx en 0 et dans ce cas on doit demontrer que son integrale pour chaque sous segment de IR+ est majorée ) est ce vrai ?? merci encore en tout cas !

Bonjour,
ce que tu dis est faux effectivement.
Premièrement, avec quelle définition de l'intégrale travailles-tu ?
Par exemple, la fonction de Tomae définie sur (0,1) (qui vaut 0 aux irationnels et 1/q sur les x=p/q p et q copremiers) est intégrable alors qu'elle est discontinue sur tous les rationnels...

@ otto : arrête moi si je dis des bêtises, mais cette fonction n'est pas réglée (puisque toute fonction réglée est bornée, et que par exemple (1/n)n n'est pas bornée, donc ta fonction n'est pas bornée).
Donc elle n'est à fortiori pas Riemann-intégrable.
Vu sa question, il s'intéresse forcément à l'intégrale de Riemann (car le sujet est posté sous Maths Sup).

[Cela dit elle est clairement Lebesgue-intégrable d'intégrale 0 (il me semble)]



@pullversace
J'ai évidemment oublié de préciser que dans le cadre de la maths sup/spé, les fonction qu'on considère intégrables sont les fonctions Continues par Morceaux (voir ton cours pour la définition).

"continue en +infini" ne veut rien dire. Dans tous les cas, si la fonction est continue par morceaux sur l'intervalle choisi, il faut étudier en tous les points de discontinuités et les bornes ouvertes (y compris infinies).

x->1/x par exemple a une limite en +infini mais n'est pas intégrable sur [1,+infini[ car ln(x) tend vers +infini en +infini

@ otta : oui en effet cette intégrale (pour lebesgue) vaut bien 0, avec le théorème de convergence monotone: on pose (xn)n = Q inter ]0,1], et
fn(x) = 0 si x n'est pas dans {xk | k < n+1}, f(x) sinon
Alors fn est croissante, converge simplement vers f, or l'intégrale de fn vaut bien 0. Donc d'après le TCVM, l'intégrale de f vaut 0 [il y a peut-être plus simple]

D'accord, je travaillais avec la définition de l'intégrale de Riemann au programme de sup/spé (intégrale des fonctions réglées). Apparemment la vraie définition est différente mais je ne la voyais pas comme ça.
Mais elle n'est pas réglée - ce qui m'a dérouté.

Au fait, pourrais-tu m'indiquer un lien vers une démonstration de ce critère ? Merci beaucoup.

J'ai trouvé une démonstration du critère, et celui que tu as cité n'est pas exact

Sur un compact, une fonction f est Riemann intégrable ssi elle est BORNEE et a un ensemble de points de discontinuité de mesure nulle.

Ici ce n'est pas le cas, pour les raisons que j'ai déjà mentionnée.

D'ailleurs il est clair que la fonction doit être bornée, sinon on ne pourrait pas définir l'intégrale supérieure ou inférieure.

Ici ce n'est pas le cas, pour les raisons que j'ai déjà mentionnée.
Qu'est ce qui n'est pas le cas ?

Tu as raison, f doit être bornée pour le critère que ce cite. J'avoue qu'on ne se sert pas souvent de ce critère ...

Je ne comprend toujours pas ta remarque, la fonction est bien Riemann intégrable d'intégrale nulle, que voulais tu dire ?

Oh zut j'ai dit n'importe quoi, elle est évidemment bornée par 1. Oui donc elle est riemann intégrable.  J'ai rien dit :X. !

Sinon tu peux facilement le montrer à la main et c'est la beauté de l'exercice et le même principe que pour la continuité.

Clairement l'intégrale inférieure est au moins 0.

Tu choisis un epsilon > 0 et considère la fonction g=epsilon. Combien de points de f sont au dessus de g ? Seulement un nombre fini, donc l'intégrale supérieure est plus petite que epsilon, et ce pour tout epsilon ...