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Fonction ln

Posté par
Arkange
26-02-08 à 12:16

Bonjour,


Je bloque bêtement sur cette question:

Soit pour tout n naturel non nul, la fonction gn définie sur ]0;+[ par:
gn(x) = x²-n+nln(x)

1. Etudier gn:préciser ses limites en 0 et en +
Je trouve en 0, - et en +, +.
Montrer que l'équation  gn(x)=0 admet une solution unique notéen et que cette solution est dans [1;3]

J'ai dérivée pour trouver les variations. On trouve que la fonction est strictement croissante sur ]0;+[. D'après le théorème de la bijection, on montre facilement l'unicité de la solution, mais je n'arrive à montrer qu'elle est compris dans [1;3] ?

j'ai essayer de calculer gn(1) et gn(3) mais les deux inconnues me perturbent :s

merci pour toute aide!

Posté par
ciocciu
re : Fonction ln 26-02-08 à 12:29

salut
bin que valent g(1) et g(3) ? .....en fct du n bien sur parce que lui on y touche pas

Posté par
Arkange
re : Fonction ln 26-02-08 à 12:31

J'ai gn(1) = 1-n et gn(3)=9-n+nln3
Mais, je vois pas où ça mène... ?

Posté par
ciocciu
re : Fonction ln 26-02-08 à 12:35

trouve les signe de g(1) et g(3)
si par hasard y'en à un négatif et un autre positif alors ta solution est bien comprise entre 1 et 3

Posté par
Arkange
re : Fonction ln 26-02-08 à 12:45

Oui,

Pour n entier naturel non nul 1-n0 mais gn(3)?
On nln(3) posiftif mais 9-n peut être négatif?
Il faut sûrement transformer l'expression mais je vois pas comment ^^

Posté par
ciocciu
re : Fonction ln 26-02-08 à 12:46

bin oui faut transformer l'expression.... saucisse  

9 + n (ln3 -1)  facile le signe du coup

Posté par
Arkange
re : Fonction ln 26-02-08 à 12:53

ah oui, tout de suite c'est plus facile xD

Merci. L'exercice est encore plus long aprèsn possible que je repasse par là ^^
Au fait, ce que j'avais fait avant est bon ? (a priori)

Du coup pour le sgine de gn je trouve négatif sur ]0,n[ et positif sur ]n;+[ d'après les variations et les limites ?

Merci encore

Posté par
ciocciu
re : Fonction ln 26-02-08 à 12:55

oui et oui

Posté par
Arkange
re : Fonction ln 26-02-08 à 12:56

Merci

Posté par
Arkange
re : Fonction ln 27-02-08 à 11:17

Salut c'est encore moi ^^

J'aurais encore besoin d'un coup de pouce sur cet exo (voir ci-dessus)

On fait maintenant l'étude des cas particuliers n = 1 et n = 2

n étant le nombre défini à la question 1. montrer que 1 = 1 et 1.2<2<1.3

Est-ce que on peut dire ça:

D'arpès la question 1 on doit avoir g1(1) = 0
Et on suppose que 1 = 1 , on calcule g1(1) ce qui fait 0
Donc 1 = 1 ?

je suis pas sur

merci

Posté par
Arkange
re : Fonction ln 28-02-08 à 11:54

up ?

Posté par
ciocciu
re : Fonction ln 28-02-08 à 12:37

salut
oui car tu as montré l'unicité de la solution pour tous les n (donc en particulier pour n=1 et 2)

Posté par
Arkange
re : Fonction ln 28-02-08 à 13:17

Merci.

Et pour l'encadrement de 2 il vaut mieux utiliser le théorème de la bijection et déterminer l'encadrement à la de la calculatrice ou calcule g2(1.2) et g2(1.3) et faire des arrondis sachant que l'en est négatif et l'autre positif?
Merci encore

Posté par
ciocciu
re : Fonction ln 28-02-08 à 14:55

bin c'est un peu pareil .....non ?

Posté par
Arkange
re : Fonction ln 28-02-08 à 18:53

C'est vrai.

Je suis encore  coincé sur une question  du même exercice (!) qui nécessite une partie que j'avais pas écrit:

L'objet de ce problème est l'étude de quelques propriétés des fonctions fn avec entier naturel non nul, définies sur ]0;+[ par : fn(x) = x - n - n(lnx/x).
La représentation graphique de fn dans un répère (0;i;j) orthonormal est notée Cn.

A. Etude des variations de fn

1. Soit, pour tout naturel n non nul, la fonction gn définie sur l'intervalle ]0;+[ par : gn(x) = x²- n + n ln x
Etudier gn; préciser ces limites en 0 et +
Montrer que l'équation gn(x) = 0 admet une solution unique notée n et que cette solution est dans [1;3]

2. Montrer que, sur l'intervalle ]0;+[, f'n(x) = gn(x) / x², et en déduire le sens de variation de fn.

3. a. étudier les limites de fn en 0 et en +.
b. Montrer que la droite Dn d'équation y = x - n est asymptote à la courbe Cn.
c. Etudier la position de Cn par rapport à Dn.

B. Etude des cas particuliers n = 1 et n = 2

1. n étant le nombre défini en A1, montrer que 1 = 1 et 1.2 < 2 < 1.3

2.a. En utilisant les règles sur les inégalités et l'encadrement de 2 précédent, montrer que f2(2)-1.24

b. en utilisant le sens de variation de f2, montrer que f2(2)-1.10

3. Donner les tableaux de variations de f1 et de f2

J'ai tout fait mais je n'arrive à montrer les inégalités de la question B. 2. . Qu'est-ce qu'ils veulent dire par "règles sur les inégalités" ?
Pour les variations de fn j'ai trouvé: strictement décroissante sur ]0;n[ et srtictement croissante sur ]n;+[ mais je vois pas en quoi ça aide!

Merci encore de m'éclaircir!

Posté par
Arkange
re : Fonction ln 29-02-08 à 14:17

Ma dernière question, promis!

Posté par
Arkange
re : Fonction ln 11-03-08 à 19:35

Je suis désespéré. Je bloque complètement à la question B. 2 (a et b)

Si quelqu'un pouvait me donner un coup de main?

Merci



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