bonjour

fn(0)=-1

fn(1)>0

fn continue => 0 < Yn < 1

f(n+1)(x)=f(n)(x)+x^(n+1)

si  Yn annule fn(x) => f(n+1)(Yn)=f(n)(Yn)+Yn^(n+1)=Yn^(n+1) => f(n+1)(Yn) >0

donc la valeur Y(n+1) < Y(n)

lim Yn = 0

A vérifier et à "rigouriser"...

Philoux

Bonjour.
On calcule la dérivée de . On trouve, pour x0 une dérivée positive, donc, est croissante. sur R+.
Comme (0) = -1 et (1) = n-1, la fonction s'annule une fois et une seule sur ]0,1[ (en excluant le cas n = 1 où elle s'annule en 1). Cette racine unique que nous noterons est dans ]0,1[.
La différence (x) - (x) = prouve que cette différence est positive, donc ()> 0. Donc :
< : suite décroissante. Comme elle est minorée par 0, elle converge vers une limite y positive.
En écrivant (x) = et en appliquant la formule de la somme es termes d'une suite géométrique (y < 1) je trouve que la limite est y = 1/2.
Cordialement RR.

Bonsoir , pourriez-vous m'expliquer comment trouver y= comme limite ?

Personne ne peut m'aider ? c'est gênant pour moi car le multi-post est interdit .

Donc,



Comme 0 < x_n < 1, , en passant à la limite dans l'expression précédente, on trouve :

Merci Raymond et bonne continuation .

Et si nous avions seulement
Est-ce que la limite de serait ?

Oui.

Même étude sur [0,1] : unicité d'une racine x_n dans ]0,1[.

Croissance de la suite (x_n) et majoration par 1, donc convergence vers une limite : a.

On aura :



A la limite :



Comme à < a < 1 les deux premiers termes tendent vers 0, il reste bien a² + a - 1 = 0

Ok , thank you Raymond !

Excusez-moi encore mais il me reste un problème sur la conscience : montrer que a<1 car le théorème de passage à la limité dans une inégalité large me donne a1 mais j'ai besoin du strict pour la convergence vers 0 après .Je dois vous demander d'être très rigoureux , désolé . Bon courage !

Vraiment personne ?

Je compte sur votre aide .

Je n'y arrive toujours pas .

Je pense avoir trouvé.

Comme nous supposons une limite égale environ à 0,6, cherchons f_n(0,7)



Donc,

Ceci montre que 0 < x_n <

Donc, sa limite a est définie par 0 < a <

Woaw ! Pas mal raymond la technique de l'exemple concret avec 7/10 , je te remercie!a+

Bon week end. RR.