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Fonction sh


licenceFonction sh

#msg1985041#msg1985041 Posté le 11-09-08 à 17:18
Posté par Profil elotwist

Bonjour !
Comment montrer que sh est une bijection strictement croissante de R sur R ?
Par avance merci pour vos explications.
Elodie
re : Fonction sh #msg1985051#msg1985051 Posté le 11-09-08 à 17:21
Posté par Profil lafol Moderateur

Bonjour
en montrant qu'elle est strictement monotone, continue, avec les bonnes limites ?
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re : Fonction sh #msg1985105#msg1985105 Posté le 11-09-08 à 17:40
Posté par Profil elotwist

Elle est continue car sh(x)=(e(x)-e(-x))/2(somme de deux fonctions continues)
En dérivant on a :
(sh)'(x)= (e(x)+e(-x))/2 (ce qui est strictement positif) donc sh est strictement croissante.
lim (x->0) sh(x)=0 et lim (x-> infini)sh(x)= + l'infini
Pourquoi en faisant cela je montre que c'est une bijection ?

re : Fonction sh #msg1985132#msg1985132 Posté le 11-09-08 à 17:50
Posté par Profil lafol Moderateur

IR commence en -oo, pas en 0

toute fonction strictement monotone est injective, et toute fonction continue vérifie les valeurs intermédiaires, ce qui te donne la surjectivité

sinon, tu peux résoudre l'équation sh(x)=y et montrer qu'elle a une unique solution x pour chaque y réel

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