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Fonctions coercives, convexes, ...

Posté par
Maneki
23-10-11 à 12:44

Bonjour !

Voici l'énoncé d'un exercice, je ne vois absolument pas comment commencer !
"
Soit f : n .
On dit que f est inf-compact si pour tout ,
S := { x n ; f(x) } est compact.

1) On suppose f continue. Montrer que :
f est coercive f est inf-compact.
2) On suppose f convexe. Montrer que :
f est inf-compact Il existe 0 tel que S[sub]0[/sub] est compact non vide.

Alors je sais ce qu'est une fonction coercive, mais je ne vois pas du tout comment partir avec la compacité !...

Merci pour votre aide !

Posté par
carpediem
re : Fonctions coercives, convexes, ... 23-10-11 à 13:46

salut

c'est quoi une fonction coercive ???

Posté par
Maneki
re : Fonctions coercives, convexes, ... 23-10-11 à 14:08

Une fonction f est coercive si f(x) tend vers +oo lorsque ||x|| tend vers +oo .

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions coercives, convexes, ... 23-10-11 à 15:08

Bonjour

Moi non mlus je ne connaissais pas ce "coercive".

Alors 1) : Soit \alpha > 0. Alors il existe R tel que pour ||x|| > R on ait f(x) > \alpha. mais alors S_\alpha est fermé et borné, puisque contenu dans la boule de rayon R.

Posté par
carpediem
re : Fonctions coercives, convexes, ... 23-10-11 à 15:44

réciproquement

suppososn f inf-compact alors pour tout a > 0 :: Sa est compact donc il existe r > a tel que Sa est inclus dans la boule de rayon r

mais alors si ||x|| > r alors f(x) > a

c'est vrai pour tout a > 0 donc en passant à la limite f est coercive ....

Posté par
Maneki
re : Fonctions coercives, convexes, ... 23-10-11 à 18:53

Merci pour vos réponses, mais je n'ai pas tout compris !...

Camelia, je ne comprends pas pourquoi le alpha doit etre positif, puisque dans l'énoncé il est dans R.
je ne comprends pas non plus ton raisonnement !

carpediem : un peu pareil , || x ||>r alors f(x) > a ?
je comprends rien lol

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions coercives, convexes, ... 24-10-11 à 14:01

D'accord, \alpha n'a pas besoin d'être positif.

Ensuite, je te rappelle que la définition de
\lim_{||x||\to +\infty}f(x)=+\infty

est

(\forall\alpha \in \R)(\exists R > 0)(||x|| > R\Longrightarrow f(x) > \alpha)

Posté par
Maneki
re : Fonctions coercives, convexes, ... 24-10-11 à 20:12

Ok, mais pourqoui S alpha fermé borné ?

Posté par
carpediem
re : Fonctions coercives, convexes, ... 24-10-11 à 20:21

c'est la définition d'un compact, non ?

Posté par
Maneki
re : Fonctions coercives, convexes, ... 24-10-11 à 20:26

oui d'accord mais pourquoi on a ça en supposant f coercive ?

Posté par
carpediem
re : Fonctions coercives, convexes, ... 24-10-11 à 20:27

c'est ce que Camelia t'a montré !!!!!

Posté par
Maneki
re : Fonctions coercives, convexes, ... 24-10-11 à 20:29

Je ne comprends pas ce qu'elle a fait, le "mais alors" je ne vois pas le rapport.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions coercives, convexes, ... 25-10-11 à 14:13

Je n'écrirai pas une rédaction complète... fais un effort!

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