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fonctions elementaires-reciproques

Posté par
111111 31-05-09 à 17:15

Bonsoir a tout le monde.

Aider moi pour ces deux questions svp.

1.montrer que  arcsinx\le{\frac{1}{\sqrt(1-x^2)}}

2.simplifier:
arctan\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}

arccos(x^2-1)


pour le 1 j avais considere la fonction f(x)=arcsinx-{\frac{1}{\sqrt(1-x^2)}}  pour l etudier mais j arrive pas.

Posté par
olive_68re : fonctions elementaires-reciproques 31-05-09 à 18:00

Salut

On peut essayer ensemble ..

Tu arrives jusque où pour étudier ta fonction ??

Posté par
olive_68re : fonctions elementaires-reciproques 31-05-09 à 20:53

Bon allez je suis chaud je t'avance un peu dans l'exercice

On étudie les variations de 4$f :

4$f^'(x)=\fr{1}{\sqrt{1-x^2}}-\fr{\fr{x}{\sqrt{1-x^2}}}{\(\sqrt{1-x^2}\)^2}=\fr{1}{\sqrt{1-x^2}}-\fr{x}{\(\sqrt{1-x^2}\)^{\fr{5}{2}}}=\fr{(\sqrt{1-x^2})^2-x}{\(\sqrt{1-x^2}\)^{\fr{5}{2}}}=\fbox{\fr{1-x-x^2}{\(\sqrt{1-x^2}\)^{\fr{5}{2}}}}

Compris ou pas compris ?

Après tu sais que ta fonction est définie sur 4$]-1;1[ Donc on va étudier cette fonction sur cet interval qu'est-ce que t'en penses ?

Le dénominteur est forcément positif sur cet interval, le numérateur est positif sur 4$]-1;\fr{\sqrt{5}-1}{2}[ et négatif sur ]\fr{\sqrt{5}-1}{2};1[

Donc la fonction est croissante sur 4$]-1;\fr{\sqrt{5}-1}{2}[ et décroissante sur 4$]\fr{\sqrt{5}-1}{2};1[

De plus 4$f(\fr{\sqrt{5}-1}{2})\approx -0,60578

Donc on a bien 4$arcsin(x)-\fr{1}{\sqrt{1-x^2}}<0 \ \forall x \in ]-1;1[

Donc on a bien prouvé que 4$\red \fbox{\fbox{arcsin(x)<\fr{1}{\sqrt{1-x^2}}}}

Posté par
111111re : fonctions elementaires-reciproques 04-06-09 à 17:06

ok je pense qu'il y'a une erreure au niveau de la derivee au denominateur c'est a la puissance 3 aulieu de 5/2

merci car j'ai compris qu'ammeme le principe

et le 2) les simplifications ?

Posté par
olive_68re : fonctions elementaires-reciproques 04-06-09 à 18:29

Euh pour la puissance peux tu me dire ou est-ce que j'aurais eus faux?

Pour les simplifications je ne sais pas trop comment ça se passe, (Je suis en terminal..), Tu sais comment faire des changements de variables ? enfin plutôt est-ce que on a le droit? du genre pour le premier y=arccos(x)

Posté par
Stef-re : fonctions elementaires-reciproques 04-06-09 à 18:48

juste une faute d'inattention, 3$ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \times \frac{1}{( \sqrt{1-x^2})^2}= \frac{x}{ (\sqrt{1-x^2})^3} ça ne change pas grand chose.

Posté par
olive_68re : fonctions elementaires-reciproques 04-06-09 à 18:58

Je suis d'accord avec toi ici mais j'ai pas fais ça ..

Posté par
James bondre : fonctions elementaires-reciproques 04-06-09 à 18:59

je viens de faire les calculs et j'aboutit bien au résultat que donne Olive, d'ou sa conclusion.

Posté par
Stef-re : fonctions elementaires-reciproques 04-06-09 à 19:03

alors j'en sais rien, comment tu passes de 3$f^'(x)=\fr{1}{\sqrt{1-x^2}}-\fr{\fr{x}{\sqrt{1-x^2}}}{\(\sqrt{1-x^2}\)^2} à 3$f^'(x)=\fr{1}{\sqrt{1-x^2}}-\fr{x}{\(\sqrt{1-x^2}\)^{\fr{5}{2}}} ?

Posté par
James bondre : fonctions elementaires-reciproques 04-06-09 à 19:07

le 5/2 me semble suspect, il devrait s'agir d'un 3.

Posté par
olive_68re : fonctions elementaires-reciproques 04-06-09 à 19:19

Ahh lool oui en effet !! je croyais que c'était la suite qui avait posé problème..

Merci


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