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Fonctions homographiques

Posté par Clefie (invité) 17-01-07 à 14:04

Bonjour. J'ai un TD qui est le suivant
On appelle fonction homographique toute fonction f de la forme :
x (ax+b)/(cx + d), où a,b,c,d sont des réels donnés avec c non nul et ad-bc non nul.

1. a) Etudiez la fonction f(x) = (3x-4)/(2x-4) et tracez sa courbe représentativ e C dans un repère orthonormal (0,i,j)

   b) Démontrez que le point I(2; 3/2) est centre de symétrie de la courbe C.
(le point I est le point d'intersection des asymptotes)

  c)Nous allons voir que C est une hyperbole, c"est à dire que l'équation de C dans un certain repère est Y = a/X. Considérez alors le repère (I,i,j) dans lequel les coordonnées d'un point M quelconque seront notées (X;Y)
Prouvez que dans ce repère, une équation de C est Y = 1/X. C est donc une hyperbole.

Merci de m'aider svp je ne comprends pas

Posté par
Lopez
re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 14:36

Bonjour,

à quel niveau bloques-tu ?

Posté par Clefie (invité)re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 14:47

Je n'arrive même pas à répondre à la 1ère question

Posté par
Lopez
re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 14:52

il faut commencer par trouver le dommaine de définition
puis dériver
puis étudier le sens de variation

Posté par Clefie (invité)re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 14:57

Df = R - [2] ?
f(x) = (3x-4)/(2x-4)
u(x) = 3x-4      u'(x) = 3
v(x) = 2x-4      v'(x) = 2
f'(x) = u'v - uv'/v² = [3(2x-4) - 2(3x-4)]/(2x-4)² = (6x-12-6x+8)/(2x-4)² = -4/(2x-4)²
Est-ce bon ?
Si oui, je calcule ensuite Delta, je détermine le signe de f' puis ca me donne le sens de variation de f(x) c'est bien ça ?

Posté par
Lopez
re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 14:59

Df c'est ok
la dérivée est juste
et on voit directement que f'(x) < 0 pas besoin de

Posté par Clefie (invité)re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 15:02

Ok. Merci. Donc f(x) décroissante. Pour tracer sa courbe je peux faire un tableau des valeurs ?

Et sinon pr la question 1)b) je fais comment stp ?

Posté par
Lopez
re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 15:05

montre que 3$\frac{f(2+h)+f(2-h)}{2}=\frac{3}{2}

Posté par Clefie (invité)re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 15:07

Okay... Je vais essayer merci

Posté par Clefie (invité)re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 16:00

Bon je n'y arrive pas...
Je tombe sur 4/4h ce qui n'est pas vraiment ce qu'on recherche...

Posté par
Lopez
re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 18:47

3$\frac{f(2+h)+f(2-h)}{2}=\frac{3}{2}

3$\frac{f(2+h)+f(2-h)}{2}=\frac{\frac{3(2+h)-4}{2(2+h)-4}+\frac{3(2-h)-4}{2(2-h)-4}}{2}

                           3$=\frac{\frac{6+3h-4}{4+2h-4}+\frac{6-3h-4}{4-2h-4}}{2}

                            3$=\frac{\frac{2+3h}{2h}+\frac{2-3h}{-2h}}{2}

                           3$=\frac{\frac{2+3h-(2-3h)}{2h}}{2}

                           3$=\frac{\frac{6h}{2h}}{2}

                           3$=\frac{3}{2}

donc I(2;3/2) est centre de symétrie

Posté par Clefie (invité)re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 18:55

Ok. Merci. J'ai fait une erreur vers 2+3h-(2-3h)/2h/2.
Et pour la c) comment je fais, stp ?

Posté par
Lopez
re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 20:00

on fait un changement de variable
un point M dans (O;i;j) a pour coordonnées (x;y)
et dans (I;i;j) M a pour coordonnées (x-2;y-3/2)

donc on fait le changement suivant X = x-2 et Y = y-3/2
d'où x = X+2 et y = Y + 3/2

donc l'expression de f devient
3$Y+\frac{3}{2}=\frac{3(X+2)-4}{2(X+2)-4}

3$Y=\frac{3X+2}{2X}-\frac{3}{2}

3$Y=\frac{3X+2-3X}{2X}

3$Y=\frac{2}{2X}

3$Y=\frac{1}{X}

Posté par Clefie (invité)re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 20:06

OK ! Merci !
En fait c'était tout simple. En fait on doit faire un changement de repère et après on applique les formules qu'on a determinées (X = x-2 et Y = y-3/2) Merci

Posté par
Lopez
re : Fonctions homographiques 17-01-07 à 20:09

exact

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