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forme bilineaire symetrique, orthogonal

Posté par
bilame 17-08-09 à 10:51

Bonjour a tous,

j'ai un exercice qui me donne du fil a retordre.
soit f la fbls sur R^3
soit la matrice A= \\ \left( \\ \begin{array}{ccc} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \\ \right) \\

1) determiner les vecteurs isotropes de f, ces vecteurs forment-ils une sev de R^3 ? si oui en préciser la nature ainsi q'une base.

pour les vecteurs isotropes , ok, c'est f(u,u)=0 .
x^2+2xy-z^2=0
pour le sev on doit montrer la linearité ainsi que la stabilité par la somme interne.
c'est a dire on remplace x par \lambda x, ça marche et x par x+x' et là ça marche pas si on prend x(1;0;1) et x'(-1;1/2;0) la somme n'est pas vérifiée par l'équation. Donc ce n'est pas une sev.
est-ce correct ?

2) on pose F={1,0,1} et on considère F^{\bot} (orthogonal pour la fbls f)
a) la fbls est-elle dégénérée ?
non car le déterminant de la matrice est non nul.
b) en déduire dim de F^{\bot}.
dim F^{\bot}=dim R^3-dim F or   dim F=1 donc dim F^{\bot}=2

c) determiner l'ensemble des vecteurs u=(x,y,z) de R^3 qui appartiennent à F^{\bot}, le vecteur (1,0,1) appartient-il à cet ensemble?
on aboutit à x+y-z=0 (je suis pas sur)
on peut prendre u_1=(1,0,1) et u_2=(1,-1,0)
,oui u_1=(1,0,1) appartient à cet ensemble.

d) justifier l'impossibilité de trouver une base ((1,0,1),u_2,u_3) qui soit f-orthogonale.

comme la dimension est 2, il est impossible de trouver 3 vecteurs non liés.
que veut dire ici : f-orthogonale ???

Merci pour votre attention à tous et toutes.
j'attends avec impatience vos commentaires

bilame

Posté par
raymond Correcteurre : forme bilineaire symetrique, orthogonal 17-08-09 à 13:25

Bonjour.

1°) D'accord pour l'ensemble des vecteurs isotropes. C'est le cône d'équation x² + 2xy - z² = 0.
Ce n'est pas un sev de IR3.

2°) a. Effectivement, det(A) non nul, donc, f est non dégénérée.

2°) b. Exact, dim(F\perp) = 2

2°) c. Exact, F\perp a pour équation x + y - z = 0. C'est un plan de IR3, donc, de dimension 2.
On remarque que le vecteur U1(1,0,1) appartient à ce plan.

2°) d. f-orthogonal signifie : orthogonal par rapport à la forme bilinéaire f. U et V sont deux vecteurs de IR3 f-orthogonaux ssi f(U,V) = 0

Prenons le vecteur U1(1,0,1). Pour construire une base f-orthogonale de IR3 à partir de U1, il faut choisir U2 et U3 orthogonaux à U1. Donc, U2 et U3 seront dans F\perp. Mais comme U1 est aussi dans F\perp, U1, U2 et U3 ne seront pas indépendants, car dim(F\perp) = 2.

Posté par
bilamere : forme bilineaire symetrique, orthogonal 17-08-09 à 13:51

Merci Raymond pour cette réponse rapide !

J'avais oublié de préciser que pour le 2.d c'était une base sur E qui soit f-orthogonale. Donc ma réponse était fausse.

il manquait aussi la partie 3)

3. on considère la famille (e'_1,e'_2,e'_3) de vecteurs de E telle que:

e'_1=e_1  e'_2=e_1-e_2 e'_3=e_3

3.a) vérifier que e'_2 appartient à  F^{\bot}
ok pour ça pas de problème

3.b) montrer que (e'_1,e'_2,e'_3) est une base f-orthogonale de E.

il faut montrer que f(e'_1,e'_2)=0, f(e'_1,e'_3)=0 ,f(e'_2,e'_3)=0.
c'est ça ?

merci encore

bilame

Posté par
raymond Correcteurre : forme bilineaire symetrique, orthogonal 17-08-09 à 14:14

Vérifie d'abord que (e^'_1,e^'_2,e^'_3) est une base de E

Ensuite, calcule effectivement les trois f(e^'_i,e^'_j)

Posté par
bilamere : forme bilineaire symetrique, orthogonal 17-08-09 à 14:50

ok, mais je ne trouve pas pour la question 2.d)

j'arrive par le calcul à trouver une base ((1,0,1),u_2,u_3) de E qui soit f-orthogonale

soit u_2=(a,-a,b) et u_3=(c,-c,d), il suffit que les coefficients vérifient : -ac+bd=0

je dois mal m'y prendre.

une idée ? une formule avec les dimensions ?

merci

Posté par
raymond Correcteurre : forme bilineaire symetrique, orthogonal 17-08-09 à 17:49

Pour la question 2°) d, je t'ai donné la raison de son impossibilité dans mon premier topic.

Posté par
bilamere : forme bilineaire symetrique, orthogonal 17-08-09 à 19:02

ooouupppsss !
désolé ! il faudrait que je m'achète des lunettes !

encore merci pour ton aide précieuse Raymond!

Posté par
raymond Correcteurre : forme bilineaire symetrique, orthogonal 17-08-09 à 20:18

Bonne soirée.


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