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forme quadratique
Bonsoir je n'arrive pas à faire cet exercice:
Soit phi une forme bilinéaire symétrique sur R^4. On suppose qu'il existe un vecteur isotrope n'appartenant pas au noyau de phi.
a) Que peut-on dire sur la signature de la forme quadratique associé à phi?
b) Montrer qu'il existe une base de E formée des vecteurs isotropes.
Pouvez-vous m'aider svp?
Bonsoir,
une petite idée:
par hypothèse il existe non nul vérifiant
n'est pas dans le noyau, donc
est différent de
Complétons en une base de E, à l'aide d'un supplémentaire
de
dans
.
Il existe une base orthogonale
de la restriction à
de la forme quadratique
associée à
.
Pour tout vecteur de cette base, montrons qu'il existe
tel que
soit isotrope.
Cette condition s'écrit , c'est-à-dire, compte tenu du fait que
,
Comme par construction, et que de plus,
, on a
, donc cette condition est réalisée pour
Comme aucun élément de n'est colinéaire à
(car
est isotrope et que
) , on montre aisément que la famille
est une famille libre de vecteurs isotropes de
.
Il ne reste donc plus qu'à s'intéresser à pour montrer qu'on peut faire quelque chose d'analogue.
Si c'est le cas, on récupérera bien au final une base de constituée de vecteurs isotropes.
De plus, trois lignes avant la fin, il fallait lire que F était inclus dans le complémentaire de l'orthogonal de b, désolé!
Bonjour grenouillette et Tigweg,
On peut aussi utiliser la signature.
1) L'hypothèse entraine que la signature est égale à (p,q) avec p
1 et q1, la dimension du noyau étant n-p-q (en effet si par exemple q=0, les vecteurs isotropes sont dans le noyau).
2) Soit une base dans laquelle la forme quadratique s'écrit:
.
La famille est constituée de vecteurs isotropes et c'est une famille libre (facile à montrer) de n vecteurs donc une base.
Bonjour jandri,
oui ça marche très bien ainsi, bravo! 
Il est sans doute également nécessaire d'utiliser le fait qu'il y a identité entre le noyau et le cône isotrope d'une forme quadratique positive pour faire fonctionner ma démonstration.
Mais je suis convaincu qu'il ne me manquait plus grand-chose; je réexaminerai cela quand j'aurai plus de temps.
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