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formule binôme

Posté par
hul541 09-03-08 à 10:44

Bonjour,

A l'aide de la formule du binôme:

1) Prouver que k=nk=0(k parmi n)3k=4n

2) Démontrer que: pour tout entier naturel n, 5n-1 est un multiple entier de 4

On n'a pas le droit d'utiliser les congruences.

C'est une démonstration, ce n'est pas mon point fort et celle là me laisse de marbre. Pourriez m'aider ( pas forcement la réponse, je veux comprendre)

Posté par
raymond Correcteurformule binôme 09-03-08 à 11:04

Bonjour.

1°) Tu as la formule du binôme :

3$\textrm (a+b)^n = \Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}a^k.b^{n-k}

En particulier :

3$\textrm (x+1)^n = \Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}x^k

Donc, pour x = 3 :

3$\textrm\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}3^k = (3+1)^n = 4^n

2°) Tu sais que : 3$\textrm a^n-b^n = (a-b)\Bigsum_{k=0}^{n-1} a^k.b^{n-k-1}

Donc ...

Posté par
hul541re : formule binôme 11-03-08 à 20:11

on remplace a par 5 et b par 1 ?

Posté par
raymond Correcteurre : formule binôme 11-03-08 à 20:20

Cela me semble judicieux.

Posté par
hul541re : formule binôme 11-03-08 à 20:27

j'obtiens 5^n - 1 = 4* le grand E ( je ne sais pas l'ecrire c'est juste ? )

Posté par
raymond Correcteurre : formule binôme 11-03-08 à 20:42

Tout ce que tu peux dire, c'est que E est un entier.

Tu viens de prouver que : 5n - 1 = 4.E

Cela signifie clairement que 5n - 1 est multiple de 4.


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