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formule de duplication: trigonométrie

Posté par
Rapido
27-02-12 à 22:53

Bonjour,

Voici un problème que je ne comprends pas très bien :

On considère le cercle trigonomètrique associé au repère orthonormé direct (O;I;J), le point k de coordonnées (-1;0) et un réel x

On place sur le cercle le point A tel que (KI,KA)=x
Le but de ce problème est de démontrer l'égalité :
sin2x=2sinx.cosx

1/ On suppose dans cette question que x appartient [0;pi/2]
La perpendiculaire à [OA] passant par I coupe la droite (OA) en H.

a.Démontrer que (OI;OA)=2x
b.Démontrer que sin2x = IH
c.Démontrer que l'aire du triangle rectangle AKI est égale à 2sinxcosx
d.Démontrer que les triangles AKO et AOI ont la même aire égale à IH/2 (la premiere partie est faite)

2/On suppose dans cette question que x appartient [pi/2;pi]
On pose x'= x-pi/2

a.Démontrer que : sin2x'=2sinx'cosx'
b.En déduire que l'on a encore: sin2x=2sinxcosx (la deuxième partie est faite)

3/On suppose dans cette question que x appartient [-pi;0] et on pose x''=-x (à partir de là j'aurai besoin d'aide)

a.Démontrer que : sin2x''=2sinx''cosx''
b.En déduire que l'on a encore: sin2x=2sinxcosx
On a ainsi démontré que cette égalité est vraie pour tout réel x de l'intervalle [-pi;pi]

4/Démontrer que pour tout réel x, on a :
sin2x=2sinxcosx

Merci d'avance.

Posté par
Rapido
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 09:41

C'est à partir de la question 3 que j'aurai besoin d'aide s'il vous plait.

Posté par
sbarre
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 10:18

bonjour;
il me semble que la fonction sin est impaire et que la fonction cos est paire
donc quel que soit x: sin(-x)=-sinx  et cos(-x)=cosx

Applique le ici!

Posté par
Rapido
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 10:45

Bonjour, j'ai alors fait sin2(-x)= 2sin(-x).cos(-x)
                         -sin2x=2(-sinx).cosx
                 ===}     sin2x=2cosx.sinx

Mais surtout, je voudrai savoir savoir comment démontrer l'égalité sin2x"= 2sinx"cosx" faut-il démontrer quelque chose ?

Posté par
sbarre
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 11:06

je pensais que c'était démontré par la question 1 sur  [0;pi/2] puis qu'avec la question 2 tu montrais que c'était aussi vrai sur  [pi/2;pi]
et enfin le trois te permet de vérifier que c'est aussi vrai sur  [-pi;0] !

Posté par
Rapido
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 11:20

Oui, dans la question 2 c'est aussi vrai car x'[0;pi/2]

Posté par
sbarre
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 11:42

oui je sais c'est le principe de cette démonstration "par parties".
j'essayais juste de te faire réaliser que

Citation :
Mais surtout, je voudrai savoir savoir comment démontrer l'égalité sin2x"= 2sinx"cosx" faut-il démontrer quelque chose ?
était déjà fait  (à condition que tu aies effectivement fait le 1)!)

Posté par
Rapido
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 11:45

Comme x"=-x donc x"[;0] est-ce suffisant pour démontrer que sin2x"=2sinx".cosx" ?

Posté par
Rapido
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 12:02

J'ai juste à utiliser la formule sin2x=2sinx.cosx et je remplacce x par x" car x"[;0]

Posté par
sbarre
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 12:26

je ne vois pas ce qui te bloque
dans le 1) tu démontres que sin2x=2sinx.cosx  lorsque x appartient à [0;pi/2]
dans le 2 tu montres que si sin2x=2sinx.cosx  lorsque x appartient à [0;pi/2] alors c'est aussi vrai si  x appartient à [pi/2;pi]; c'est donc vrai lorsque x appartient à  [0;pi].
Enfin dans le trois tu montres que si sin2x=2sinx.cosx  lorsque x appartient à [0;pi] alors c'est aussi vrai si  x appartient à [-pi;0]; c'est donc vrai lorsque x appartient à  [-pi;pi]

Citation :
fait sin2(-x)= 2sin(-x).cos(-x)
                         -sin2x=2(-sinx).cosx
                 ===}     sin2x=2cosx.sinx
  
en écrivant cela tu dis que si c'est vrai sur [0;pi] alors c'est aussi vrai sur [-pi;0].
Et le fait que ce soit vrai sur [0;pi] tu l'as démontré au 2 et cela parce que au 1) tu as démontré que c'était vrai sur [0;pi/2]

Posté par
Rapido
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 12:39

Cela répond à la

Posté par
Rapido
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 12:40

*4 aussi non ?

Posté par
sbarre
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 12:51

a l'issue de la 3 tu as démontré que c'est vrai quel que soit x qui appartient à [-pi;pi];
Pour la 4 tu vas devoir dire que tes fonctions sin et cos sont cycliques/récurrentes (je ne sais plus comment cela s'appelle) de période 2pi  (périodique était peut être le terme cherché!)  et donc qu'on peut étendre cette formule à l'ensemble R

Posté par
Rapido
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 13:14

Ok merci pour tout

Posté par
sbarre
re : formule de duplication: trigonométrie 28-02-12 à 13:15

de rien
avec plaisir

Posté par
Zazap
re : formule de duplication: trigonométrie 07-03-12 à 16:04

pouvez-vous m'aider pour la question 2, je n'arrive absolument pas à la faire. Merci d'avance!

Posté par
sbarre
re : formule de duplication: trigonométrie 07-03-12 à 23:40

il faut connaître cos (x-pi/2) et sin (x-pi/2)    sin (2x-pi)   !!!

Posté par
Zazap
re : formule de duplication: trigonométrie 08-03-12 à 09:36

cosx'=sinx
et sinx'=cosx
Et sin(2x-pi)=2cosx ?
C'est  bien ça ?

Posté par
sbarre
re : formule de duplication: trigonométrie 08-03-12 à 17:45

cosx'=sinx
et sinx'=cosx
                            oui tout a fait

sin(2x-pi)=2cosx                sur un dessin, je dirais plutot   -sin2x

Posté par
Zazap
re : formule de duplication: trigonométrie 08-03-12 à 20:37

Ok merci beaucoup.
J'ai une autre question : comment démontre-t-on que a.Démontrer que : sin2x'=2sinx'cosx' ?

Posté par
sbarre
re : formule de duplication: trigonométrie 08-03-12 à 20:45

en remplacant ce qui est au dessus (sachant qu'il y a un signe - qui a du passer à la trappe; je regarde sur un dessin  sinx'= -cosx  !!!)


donc sin2x' =-sin2x  et
2sinx'cosx'=2(-cosx)sinx  

or sin2x = 2 cosxsinx    donc -sin2x = - 2 cosxsinx  d'où  sin2x' = 2sinx'cosx'

Aussi simple que cela!

Posté par
Zazap
re : formule de duplication: trigonométrie 09-03-12 à 11:34

Ok okk, merci beaucoup pour ton aide !!!

Posté par
sbarre
re : formule de duplication: trigonométrie 09-03-12 à 17:28

avec plaisir

Posté par
mxskvs
re : formule de duplication: trigonométrie 11-03-12 à 15:58

Bonjour, j'ai du mal à pour faire la question 1d. Pouvez-vous m'aider svp ?

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