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Formule du binôme & sommes

Posté par
mylo36 24-08-16 à 09:18

Bonjour !

Je prépare un concours et je bloque sur un exo corrigé en classe, je ne comprends pas :

On a pour tout entier n, Sn=\sum_{k=0}^{n}{}\begin{pmatrix} 2n\\ k \end{pmatrix} et Tn=\sum_{k=0}^{n}{}\begin{pmatrix} 2n\\ 2k-1 \end{pmatrix}

Je dois calculer à l'aide de la formule du binôme Sn+ Tn et Sn-Tn en fonction de n.

Or, quand je calcule Sn+ Tn  je procède ainsi mais ça ne marche pas selon le corrigé..

Sn+ Tn  = \sum_{k=0}^{n}{}\begin{pmatrix} 2n\\ k \end{pmatrix} + \sum_{k=0}^{n}{}\begin{pmatrix} 2n\\ 2k-1 \end{pmatrix}
= \sum_{k=0}^{2n}{}\begin{pmatrix} 2n+1\\ k \end{pmatrix} (formule du triangle, non ?)

Mon prof à cette étape indique que
n+ Tn =  \sum_{k=0}^{2n}{}\begin{pmatrix} 2n\\ k \end{pmatrix} par recouvrement des cas, ce que je ne comprends pas bien..

Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance !

Posté par
eAlphaxre : Formule du binôme & sommes 24-08-16 à 10:43

Es-tu sûr que ce ne serait pas plutôt :

T_n = \sum^n_{k=1} \binom{2n}{2k-1} ?

Parce que là, j'ai du mal à calculer le premier terme de T_n.

Posté par
mylo36re : Formule du binôme & sommes 24-08-16 à 10:51

Oups c'est exact, bien vu !

Posté par
eAlphaxre : Formule du binôme & sommes 24-08-16 à 11:21

Je t'en prie.
De même, peux-tu vérifier S_n ?
J'aurais volontiers vu
S_n = \sum^n_{k=0} \binom{2n}{2k},
Ce qui rendrait presque évident le résultat
S_n+T_n = \sum^n_{k=0} \binom{2n}{k} ...

Posté par
etniopalre : Formule du binôme & sommes 24-08-16 à 14:19


Cet exercice peut servir à montrer que dans  {1,2,...,2n} il y a autant de parties  ayant un nombre pair d'éléments  que  de parties  ayant un nombre impair d'éléments


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