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GEOMETRIE EUCLIDIENNE - opérateurs orthogonaux

Posté par
J-R 29-07-09 à 10:25

bonjour,

G un sous groupe fini de GL(\mathbb{R}^n)

on définit
\phi : \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}
        (x,y) \frac{1}{|G|}\bigsum_{g\in G}(g(x)|g(y))

Citation :
1)Mq que \phi est un P.S et que pour cette nvelle struture euclidienne les éléments de G sont des opérateurs orthogonaux et en déduire que Det(g)\in \{-1;1\}.


ok pour le PS.

pour les opérateurs orthogonaux j'ai une question:

je veux montrer que pour f dans G,

\phi(x,y)=\phi(f(x),f(y))

on voit que cela repose sur le fait que \bigsum_{g\in G} (g(f(x))|g(f(y)))=\bigsum_{gof\in G} (g(x)|g(y)) puis changement d'indexation.

quqnd on a t-on pas cette égalité ? puisque il suffit d'avoir f \in G pour que l'on ait:

dès que g décrit G, gof décrit G (bijection ...) non ?

sinon la déduction est clair.


Citation :
2) Retrouver ce résultat (det(g)...) sans considération de géométrie euclidienne.


là je sais pas.

je verrais bien du Lagrange avec groupe fini mais Gl(\mathbb{R}^n) n'est pas fini et pis même faudrait introduire du det(g) mais je verrais bien une histoire de division  enfin bref j'ai pas de pistes.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : GEOMETRIE EUCLIDIENNE - opérateurs orthogonaux 29-07-09 à 11:08

Salut

1) L'idée est là mais il faut faire une bonne rédaction

2) G est un groupe fini donc tous ses éléments sont d'ordre fini. Notons 3$\rm m=card(G)

Pour f de G quelconque: 3$\rm f^m=Id et donc 3$\rm \det(f^m)=1 soit 3$\rm (\det(f))^m=1

On est dans 3$\rm\mathbb R (et si tu veux tu peux distinguer m pair ou impair) d'où le résultat ..

Posté par
J-Rre : GEOMETRIE EUCLIDIENNE - opérateurs orthogonaux 29-07-09 à 12:02

pour la rédaction,

je montre que :

k_f: G \rightarrow G
     g gof

est une bijection .

G étant fini on se limite à l'injection.

si gof(x)=gof(x') => x=x' carce sont des bijections.


2) oué ... on a ""rien"" vu question théorie des groupes et pis là j'ai un livre de 2ème année où ce chap apparait en complément ...
vu que ça fait plusieurs  que j'ai vu qui utilisent certains points, ça doit faire partie de l'équipement de survie du taupin.

je regarde cela

merci monrow

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : GEOMETRIE EUCLIDIENNE - opérateurs orthogonaux 29-07-09 à 12:07

pour la 1 : elle et dékà la composée de deux bijections donc une bijection ! En fait c'était bien ce que t'as écrit dans ton premier poste il lui faut juste des petites décorations ^^

Pour la 2, en général on fait la théorie des groupes en sup, en spé c'est des trucs genre les idéaux, des généralisation sur l'arithmétique ou bien les actions de groupe en *.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : GEOMETRIE EUCLIDIENNE - opérateurs orthogonaux 29-07-09 à 12:07

*est déjà

Posté par
J-Rre : GEOMETRIE EUCLIDIENNE - opérateurs orthogonaux 29-07-09 à 12:12

oué je viens de regardé ça (et jai un cours écrit sur les groupes monogènes ... pouh ça remonte à trop loins ...)

ça roule

merci

@+

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : GEOMETRIE EUCLIDIENNE - opérateurs orthogonaux 29-07-09 à 12:14

Pas de problème, si t'as d'autres questions n'hésite pas


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