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Géométrie plane et vecteurs

Posté par
Sophia01
19-11-11 à 10:06

Bonjour,

Alors voilà j'ai quelque petit soucis pour résoudre cette exercice :
ABCD est un rectangle. Soit I le milieu du segment [AB] et K le point définie par  DK =2/3 DI
(DK et DI sont des vecteurs)

Après avoir fait une figure, démontrer que les points A,K,C sont alignés.
a. en utilisant l'outil vectoriel
b. en utilisant le repère (A,B,D)
c. en utilisant les configurations

Merci pour votre aide.

Posté par
gaa
re : Géométrie plane et vecteurs 19-11-11 à 10:31

bonjour,
petit souci, peut-être, mais ce n'est tout de même pas si compliqué que cela....

c) Que représente K pour le triangle ADB ? (position au 2/3 de la longueur d'une  médiane dans  un triangle!)
conséquence: la droite qui joint un sommet à ce point est une autre.....
et comme les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux.....

a) (vecteurs)
AK=AD+DK=AD+2/3DI
puis tu écris que DI=DA+AI=DA+AB/2
et tu remplaces
puis tu écris que AC=AB+AD (méthode du parallélogramme pour avoir la somme de 2 vecteurs)
et tu dois alors voir que AK=AC ce qui prouve que les points sont alignés

b) les projections de K sur AB et AD sont  (2/3*1/2=1/3 et 1/3
donc l'équation de (AK) est y=x
comme c'est également l'équation de (AC)
les trois points sont tous sur la droite d'équation y=x et les 3 points sont alignés

Posté par
lesmamas
re : Géométrie plane et vecteurs 19-11-11 à 10:43

a. exprimer vecteur AC en fonction des vecteurs AB et AC par exemple
de même pour le vecteur AK (en introduisant un point particulier avec la relation de Chasle) dans le but de montrer que les vecteurs AC et AK sont colinéaires.

b. touver les coordonnées de tous les points dans le repère précisé. en particulier ceux de k.
trouver l'eqaution de la droite (AC) et verifier que les coordonnées de K vérifie cette dernière.

c. le coeeficient 2/3 1/3 fait penser au centre de gravité du triangle ABD.
K centre de gravité
donc (AK) mediane
et de ce fait elle passe par le milieu de [BD] qui est aussi le milieu de [BD] propriété du rectangle.

A toi de jouer...

Posté par
Sophia01
re : Géométrie plane et vecteurs 19-11-11 à 11:03

Merci.
Si j'ai bien compris pour le 1a sa fait :

DK = 2/3DI
 \\ AD+DK = 2/3(DA+AI)
 \\ AK = 2/3(DA+AB)
Utilisation de la méthode du parallélogramme Donc AC = AD+AB
AK = 2/3 (DA + 1/2AB)
 \\ AK = 2/6 AC
 \\ AK = 1/3 AC

Pour le 1b sa fait :

A(0;0) B(1;0) D(0;1) C(1;1) I(1/2;0) Mais le point K j'ai pas très bien compris comment on le trouve.
Sinon après je dois faire la colinéarité entre les vecteurs AC et AK.
donc xacyak-xakyac=0
Et si c'est égal à 0 les vecteurs sont colinéaires et les point A,K et C sont aligné.

Pour le 1c sa fait :

DI est l'une des médiane du triangle ADB car c'est le milieu de AB et elle passe par le sommet D donc K est situé au 2/3 de D. Mais ça je l'avait compris. Ce que je ne comprend pas c'est le lien entre le fait que c'est une médiane et la diagonale du rectangle. Pouvez-vous m'aider.

Merci de votre aide.

Posté par
lesmamas
re : Géométrie plane et vecteurs 19-11-11 à 11:22

K centre de gravité de ABD
donc (AK) est une mediane de ABD (un sommet et le centre de gravité)
par definition d'une mediane elle passe par le milieu du coté opposé [BD] (appelons le O)
ce milieu est donc alignés avec les points A,K

or O est aussi aligné avec A, C car O est aussi milieu de [AC] et c'est la qu'intervient la propriete des diagonales d'un rectangle (en fait meme seulement celle d'un parallelogramme qu'on utilise)

A,K,O alignés
A,C,O alignés

on en conclut A,C,K,O alignés.

Posté par
Sophia01
re : Géométrie plane et vecteurs 19-11-11 à 11:24

D'accord merci je comprend mieux mais pour la question 1b on fait comment pour trouver K. En fait c'est quoi ces coordonnées

Posté par
lesmamas
re : Géométrie plane et vecteurs 19-11-11 à 12:05

puisque DK=2/3DI
l'abscisse de K correspond a 2/3 (de l'abscisse de D + l'abscisse de I)
meme chose pr l'ordonnée.

on devrait avoir K(1/3;2/3)

Posté par
Sophia01
re : Géométrie plane et vecteurs 19-11-11 à 12:13

Si tu écris que l'abscisse de K correspond à 2/3 alors pourquoi tu écris K(1/3;2/3) c'est pas plutôt K(2/3;1/3).

Posté par
lesmamas
re : Géométrie plane et vecteurs 19-11-11 à 13:34

Repère (A,B,D)
les coordonnees sont
A(0,0)
B(1;0)
D(0;1)
I(0.5;0)

2/3 (0+0,5)= 1/3
2/3 (1+0)= 2/3
dv pas d' erreur

Posté par
Sophia01
re : Géométrie plane et vecteurs 19-11-11 à 13:45

d'accord merci beaucoup

Posté par
pacifica
re : Géométrie plane et vecteurs 19-11-11 à 17:32

Bonsoir,

En ce qui concerne la partie b) de l'exercice, en ayant K(1/3;2/3) et C(1;1) je ne vois pas comment on prouve que A, K et C sont alignés et en faisant ma figure, je vois plutôt K avec les coordonnées suivantes K(1/3;1/3). Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

Bonne soirée

Posté par
lesmamas
re : Géométrie plane et vecteurs 19-11-11 à 18:17

Oui en effet j ai confondu mes coeff avec ceux devant Sur les vecteurs.

Effectivement K a pour coordonnée (1/3;1/3)

Il faut que je revois comment le justifier.

désolé pour la confusion

Posté par
lesmamas
re : Géométrie plane et vecteurs 19-11-11 à 18:33

En fait pr corriger mon erreur
DK=2/3 DI
se traduit au niveau des coordonnées par

xK-xD=2/3 (xI-xD)

yK-yD=2/3 (yI-yD)

On trouve K(1/3;1/3)

puisque l équation de (AC) est :y=x
k vérifie l équation et les points dont alignes

Posté par
Lolodu76
re : Géométrie plane et vecteurs 08-11-12 à 14:41

Citation :
xK-xD=2/3 (xI-xD)

yK-yD=2/3 (yI-yD)

On trouve K(1/3;1/3)

puisque l équation de (AC) est :y=x
k vérifie l équation et les points dont alignes


Bonjour, si je reprend ce que tu as fait, moi je tombe sur -1/3 pour x et y (de K)

COMMENT FAIRE ??

Posté par
Lolodu76
re : Géométrie plane et vecteurs 09-11-12 à 11:31

???

Posté par
rem69008
A) 25-01-14 à 20:38

Bonjour, je ne comprends pas vos explications sur le a. En utilisant l'outil vectoriel. Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer plus en détails comment il a fait.

Merci d'avance

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