Bonjour,
j'ai cet exercice à rendre en DM et je ne comprends vraiment pas grand chose; j'espère que vous pourrez m'éclairer un peu plus !
énoncé: on se place dans le groupe alterné A5
questions: 1) Quel est l'ordre du groupe A5? Faire la liste des diviseurs de ce nombre et dire lesquels de ces diviseurs sont effectivement des ordres d'éléments de A5.
2) Pour chacun des groupes G ci-dessous, dire si A5 contient un sous-groupe isomorphe à G ( si oui, exhiber un tel sous-groupe, si non, dire pourquoi ) :
G=Z/2Z, G=Z/6Z, G=Z/2Z X Z/2Z
Pour l'instant, j'ai seulement trouvé que l'ordre de A5 est 60 et que les diviseurs de 60 sont: 1,60,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30.
Je pense aussi que 1,2,3 et 5 sont des ordres d'éléments de A5.
Merci d'avance pour votre réponse même imcomplète.
salut,
(je vais tenter de t'aider mais ça fait très lgtps que j'ai pas touché aux groupes donc à prendre avec des pincettes...)
La question 2 t'éclaireras pour la 1:
Z/2Z : cherche la composée de 2 éléments de S5 d'ordre 2 à support disjoints
Z/6Z : C'est un groupe cyclique donc existe-t-il 1 élément d'ordre 6 dans A5 ?
Z/2Z x Z/2Z : tt élément différent de Id est d'ordre 2, on cherche 3 élément d'ordre 2 stable entre eux
bonne chance.
Bonjour
La première chose à faire c'est décrire les éléments de A5. Il y a les doubles transpositions, les 3-cycles et les 5-cycles.
C'est vrai que tous les éléments sont d'ordre 1,2,3 ou 5.
Il y a des éléments d'ordre 2 (par exemple (1,2)(3,4) donc aussi des sous-groupes isomorphes à Z/2Z. Comme il n'y a pas d'élément d'ordre 6 il n'y a pas de sous-groupe isomorphe à Z/6Z. Par exemple le sous-groupe engendré par (1,2)(3,4) et (1,3)(2,4) est isomorphe à (Z/2Z)2
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