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Groupe (G,*)
Bonjour,
je souhaiterais présenter un exercice. Voici l'énoncé:
Soit (G,*) un groupe (d'élément neutre e) tel que pour tout x dans G on ait
x*x = e. Montrer que ce groupe est commutatif et que, s'il est fini, alors
son cardinal est une puissance de 2 (on pourra pour se faire le munir d'une
structure d'espace vectoriel sur Z/2Z).
Plusieurs choses me posent problème, en fait:
> J'aimerais savoir ce que vous pensez de l'* de l'énoncé: désigne-t-elle ici uniquement la "multiplication" ou peut-il s'agir du symbole de loi de composition interne incluant également "l'addition"?
> Je connais la propriété qui dit que si (G,*) est un groupe d'élément neutre e dans lequel tout élément est involutif, il est effectivement commutatif; mais comment le démontrer?
Et munir G d'une structure d'espace vectoriel sur Z/2Z, pourquoi?
Peut-être s'agit-il de (Z/2Z,+,.) avec + loi interne, et . loi externe, mais vers quel corps?
Je suis assez embrouillé avec tout ça 
et je serais très reconnaissant envers ceux qui accepteront de m'aider 
!
Bonjour
* désigne n'importe quelle loi de groupe; même celles dont tu n'as jamais entendu parler!
Alors en utilisant le fait que * est associative, on a et en compoisant par x à gauche et par y à droite, on voit que
d'où
Le corps Z/2Z est formé de deux éléments, 0 et 1. Pour définir la structure d'espace vectoriel de G, on prend comme loi interne la loi * qui justement est commutative, et on définit la loi externe par 0x=e et 1x=x. vérifie que tout va bien!
Merci Camélia pour cette réponse rapide!
Mais, au risque de paraître vraiment débile, je voudrais vous (te?) demander ceci:
dire que x*y*x*y = e ne revient-il pas à faire déjà intervenir la commutativité? du genre x*(y*x)*y = x*(x*y)*y = e?
Merci d'avance pour ta réponse.
On se tutoye tous ici!
Non, j'ai utilisé le fait que (x*y)*(x*y)=e puisque z*z=e pour tout z, c'est vrai en particulier pour z=x*y.
Il n'y a rien à faire, je ne comprends toujours pas en quoi le fait de considérer la structure d'espace vectoriel de G devrait m'aider à prouver quoi que ce soit sur son cardinal...
Si le groupe est fini, il sûrement un espace vetoriel de dimension finie, mettons d, sur le corps Z/2Z qui a 2 éléments. Essaye de montrer que G a éléments.
On a muni le groupe abélien (G,*) d'un espace vectoriel E de dimension d sur le corps Z/2Z.
Comme (G,*) est un groupe fini, alors dim E = d est finie, et on sait que
|E| = |Z/2Z|dim E = 2d.
Comment prouver que |E| = |(G,*)|?
Bonjour, ensemblistement ton ensemble E et ton ensemble G c'est la meme chose...sur E on a juste un structure de plus.
D'accord!
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