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Niveau Licence Maths 1e ann
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groupe morphisme ( structure algébrique)

Posté par
xyz
02-06-09 à 21:41

Bonjour j'ai une toute petire questions alors j'ai un groupe voila la question

Soit A = {0, 1} et × la multiplication usuel. Montrer que (A,×) est
un groupe.
on s'est que x est associative et l'élement neutre est 1 , mais pour montrer que pour tout x il existe un symetrique comment je peux proceder , merci !

Posté par
infophile
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 21:51

Bonsoir,

Es-tu sûr de l'énoncé ?

Parce que pour moi (A,x) n'est pas un groupe puisque 0 n'a pas de symétrique (il est absordant).

En revanche (A,+) est un groupe, le fait que x soit distributive par rapport à + et que (A-{0},x) soit un groupe (trivial) confère à (A,+,*) une structure de corps.

C'est ni plus ni moins Z/2Z.

Posté par
xyz
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 21:57

Merci, oui c'est ce que je me disais normalement c'est pas un groupe mais la question c'est de montrer que c'est un groupe ... bref je vais demender au prof demain , cependant j'ai une autre quesions
Soit (B,*) un groupe de deux ´eléments, disons B = {X,Y} . Donner
un isomorphisme de groupes f : A -> B (et n'oubliez pas de montrer
que f est un isomorphisme).comment pourrais-je procerder ?

Posté par
infophile
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:04

Et bien si il existerait un isomorphisme de groupe f : A --> B, B étant un groupe, A le serait aussi (transfert de structure).

Or pour moi (A,x) n'en est pas un, donc cette question n'a pas plus de sens que la première.

Sauf erreur.

Posté par
xyz
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:09

donc si j'ai bien compris on peut pas montrer que f est un isomorphisme de groupe , c'est un exercice tiré d'un exams s'a m'etonnerais qu'il y'est une erreure merci commèm ^^.

Posté par
infophile
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:15

Essayons de nous mettre d'accord.

A = {0,1}

Il y a deux éléments dans ton ensemble. Muni de la multiplication usuelle, on obtient la table 2*2 suivante :

x 0 1
0 0 0
1 0 1

1 est bien le neutre, et l'associativité est simple à montrer.

Si (A,*) était un groupe, tout élément de x A (soit 0 et 1) admettrait un symétrique, c'est-à-dire qu'il existerait y dans A tel que x*y = y*x = 1.

Or si tu prends x = 0, tu as pour tout y, x*y = 0*y = 0 qui est différent de 1. Donc 0 n'admet pas d'inverse et par suite (A,*) n'est pas un groupe, c'est seulement un monoïde.

Posté par
xyz
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:19

oui je suis d'accord , ce n'est pas de ça que je parlais mais de la questions d'après pour montrer que f est un isomorphisme on s'est que f est bijective puisque on a A B 2 GROUPES  mais après pour montré que f c'est un morphisme de groupe ... je vois pas comment je pourrais faire

Posté par
infophile
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:21

"oui je suis d'accord"

A priori non, car tu dis ensuite :

"puisque on a A B 2 GROUPES"

alors qu'on vient de voir que A n'était PAS un groupe.

Posté par
lafol Moderateur
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:24

Bonsoir

tu saurais conjuguer "on s'est que" au futur ?

plus sérieusement, ce que te dit Kévin, c'est que ça n'a AUCUN sens de parler d'isomorphisme de groupe entre A et B si A n'est pas un groupe !

Posté par
xyz
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:24

non c'est le même groupe A on peut prendre les ensembles qu'on veut et on peut prendre X comme élément neutre ...

Posté par
xyz
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:25

desolé je voulais dire A n'est pas le même groupe que celui de la questions d'avant ...

Posté par
infophile
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:37

Bonsoir lafol

xyz > Je ne pouvais pas le deviner

Le groupe A à ton avis il possède combien d'éléments si l'on veut f : A -> B un isomorphisme ?

Posté par
lafol Moderateur
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:39

salut Kévin
les admissibilités commencent à tomber ?

Posté par
xyz
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:39

le même nombre d'éléments que B pour que ça soit une application surjetive et donc un isomorphisme ..

Posté par
infophile
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:42

xyz > Oui donc A possède deux éléments, tu devrais maintenant pouvoir trouver un isomorphisme entre A et B non ?

lafol > Pas encore, Mines et Centrale c'est le 10 juin, les ENS le 16 je crois.

Posté par
xyz
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:45

oui non mais attend je vais prendre quoi comme éléments sachant que je connais pas les éléments de B, et puis on aurait seulement montré sur f est bijective on a pas parlé de morphisme ...

Posté par
infophile
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:53

Et bien si tu les as nommé ceux de B : X et Y, note alors f(X) et f(Y) ceux de A et construit l'isomorphisme de B vers A.

Posté par
lafol Moderateur
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:53

xyz : il n'y a pas 36 groupes à 2 éléments !
tu as un neutre e, et un autre élément x. essaye de faire la table, tu vas voir que tes choix sont très limités !

Posté par
infophile
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:53

Je quitte l', je reviens demain.

Posté par
xyz
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:57

f-1(x) et f-1(y) plutot puisque B  est l'ensemble d'arrivée , je pense pas que la table va me servire déja 2 élements donc y'aura 4 cases bon merci les gas ^^

Posté par
lafol Moderateur
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:58

le neutre du premier a forcément quelle image ?
qu'est-ce qui reste pour l'autre élément ?

Posté par
infophile
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 22:59

Si tu penses que ce que l'on te suggère ne sert pas alors je te laisse faire

Bonne soirée !

Posté par
xyz
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 23:00

ben si X est le neutre donc f(X) est son image l'autre élément sera plutot son inverse non ? parse que ses des groupes ...

Posté par
xyz
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 23:01

non j'ai jamais dis ça , biensur que ça m'a aider et je te remercue mais t'es pas obliger de me répondre si t'as pas envie ...

Posté par
infophile
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 23:09

"parse que ses des groupes ..."

"biensur que ça m'a aider et je te remercue mais t'es pas obliger"

Ce n'est pas une attaque personnelle mais fais attention à ton orthographe, je sais qu'on est sur un forum de maths mais quand même là ça fait peur...

Posté par
xyz
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 23:16

wesh tu veux quoi au juste ! je m'adresse pas à quelqu'un d'important pour faire gaffe à ce que j'écris ,calme ta joie couzin ! apprend à parler avant de parler des autres : bien si tu les as nomé ceux de , Si tu penses ... soit on connait la réponce et l'éxplique soit on dit rien

Posté par
infophile
re : groupe morphisme ( structure algébrique) 02-06-09 à 23:54

Ah un "wesh wesh"

Ca ne vaut pas la peine que je me fatigue, a+



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