Annuler
connectez vous
arithmétique en post-bac
- Arithmétique dans Z - supérieur
- Exercice : le petit théorème de Fermat
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Groupe Z/nZ
Posté par Dcamd
Bonjour,
J'aimerais comprendre la démonstration que le cardinal du groupe quotient Z/nZ est :
{}
D'abord, soit appartenant à Z/nZ avec a dans Z
D'après les propriétés de la division euclidienne, il existe un unique couple (q,r) dans Z tel que :
a = nq+r avec 0
r<0
Soit : a-r = nq appartient à nZ donc
Esuite je ne comprends pas, il semble qu'on dise que deux entiers inférieurs à n ne peuvent pas être factorisables pas n, d'où déduction mais ce n'est pas très clair ...
Merci d'avance ! 
David
Bonjour,
Tu veux sans doute dire que le cardinal est n et qu'un système de représentant est celui que tu as écris.
Par division euclidienne tu as effectivement montré que tout entier est dans la classe d'un entier entre 0 et n-1.
Reste à voir que deux classes d'entiers entre 0 et n-1 ne sont pas égales.
Soit a et b deux entiers entre 0 et n-1 alors pour que cl(a) =cl(b) il faut que b-a soit multiple de n, or b-a est au maximum
n-1 - 0 et au minimum 0 - (n-1) bref le seul multiple de n dans cet encadrement c'est 0 donc b = a .
Bonsoir,
je ne suis pas vraiment certain que tu comprenne la notion de cardinal.
Le cardinal de 
/n est n : c'est le nombre d'éléments de cet ensemble.
Ceci car il y exactement n entiers r vérifiant 0r<n.
Et que par division euclidienne, à chaque élément de on peut associer un et un seul de ces entiers.
Désolé, je me suis juste mal exprimé, c'est la deuxième partie de ce qu'à répondu lolo271 qui me pose problème, au moment ou on montre qu'il faut que b-a soit multiple de n...
Bonjour
juste un petit complément Dcamd : on est dimanche... dans 172 jours on sera un quoi ?
là tu travailles modulo 7
donc dans /7
et tu as 7 classes qu'on appelle Lundi, Mardi, etc ... , Dimanche
Pour savoir si deux jours sont dans la même classe, on regarde si leur "différence" est multiple de 7 (c'est ce que disait Lolo)
et pour savoir dans quelle classe tombe un numéro particulier on fait la division : 172 = 7*24 + 4
donc 4 modulo 7
et Dimanche + 4 = Jeudi
mm