Ce sujet n'attend pas de réponse autre qu'une liste d'erreurs, omissions ou corrections. Éventuellement des démonstrations plus simples.
Il répond à plusieurs demandes qui apparaissent de manière récurrente et j'ai supposé qu'un traitement à part permettant de répondre par un lien pourrait être utile.
Si un administrateur ne le supporte pas il peut le déplacer ou le supprimer.

Soit un sous-groupe de . On a l'équivalence des propositions :
  1) est dense dans
  2) a au moins un point d'accumulation
  3) est point d'accumulation de

1)2) : évident
2)3) : Soit et un point d'accumulation.
Il existe tel que et il en résulte , donc point d'accumulation
3)1) : Soit . Il existe tel que ou .
Comme équivaut à on peut supposer .
Si on a .
Comme on a bien .

Soit sous-groupe de . Alors est dense dans ou il existe tel que .

Supposons que n'est pas dense, donc n'a aucun point d'accumulation.
Si le choix convient.
Sinon, est non vide (si on a aussi ), soit . Puisque n'est pas point d'accumulation on a .
Soit . Alors avec . Puisque on a et il faut donc .

Soit des réels non nuls et .
C'est évidemment un sous groupe de . On se propose d'établir : dense dans si et seulement si .
Supposons , par exemple avec entiers premiers entre eux.
Par relation de Bachet, il existe des entiers tels que .
Pour il vient soit donc .
Par ailleurs, si on a aussi .
Inversement, si puisque on a , de même et il en résulte .

Une application : l'ensemble est dense dans .
Soit un intervalle de et ( si , sinon). est un
intervalle de d'intérieur non vide.
S'il existe des entiers strictement positifs avec on a la contradiction (2 devrait diviser 3).
Par conséquent est dense dans et il existe avec d'où .

Soit des réels de rapport irrationnel. Alors est dense dans
Soit et ensemble non vide puisque dense dans .
On suppose majoré donc admettant un plus grand élément. Soit et on note un entier tel que .
Soit et . Il existe tel que . Puisque on a et on peut supposer (sinon on
prend ). Alors, de sorte que et : contradiction.
On en déduit qu'il existe une infinité de couples tels que : en particulier est dense dans

Application aux suites .
Soit . Pour la suite est constante, égale à 1 et on suppose désormais et on montre :
4) Si la suite est périodique avec un nombre fini (supérieur à 2) de valeurs d'adhérence.
Supposons fraction irréductible. Alors et si . De plus les termes sont distincts si (donc la suite prend périodiquement valeurs distinctes); les termes distincts si (la suite prend valeurs distinctes).
5) Si , tout point de est valeur d'adhérence.
En effet, soit . On a vu qu'il y a une infinité de tels que . Alors
car est 1-lipschitzienne.

On en déduit : si tout réel de est valeur d'adhérence des suites .