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Niveau Maths sup
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Images directe et indirecte

Posté par
tom_dp
17-10-09 à 18:40

Bonjour à vous tous,

il y a quelques jours j'ai décidé de faire un exercice sur les applications (feuille de TD) mais je bloque à un exercice d'apparence toute bête !

Voici l'exercice: Soit f une application d'un ensemble E vers un ensemble F, et g l'application définie par g: P(F)->P(E)
                                                                                                                                                               A ->f­­­­­­­­­­­­­-¹(A)
Montrer que: f injective g surjective.

Pour moi on veut montrer que: z P(E), B P(F) tel que z=g(B)

Et je bloque pour la suite....

Merci d'avance pour votre aide, Thomas.

Posté par
MatheuxMatou
re : Images directe et indirecte 17-10-09 à 18:42

bonsoir

démontre que si f est injective, on a f-1(f(A))=A pour tout ensemble A et ce sera bon ...

Posté par
tom_dp
re : Images directe et indirecte 17-10-09 à 18:44

Oui je sais qu'il faut arriver a cela mais comment ?

Posté par
MatheuxMatou
re : Images directe et indirecte 17-10-09 à 18:45

déjà, entre ces deux ensembles il y a une inclusion qui est toujours vraie, quel que soit f...

il suffit de montrer l'autre !

Posté par
tom_dp
re : Images directe et indirecte 17-10-09 à 18:48

Pour la demonstration de f-1(f(A))=A il n'y a pas de problème, mais c'est comment arriver a cette égalité ?

Posté par
tom_dp
re : Images directe et indirecte 17-10-09 à 19:03

il faut partir de la définition de la surjectivité ?

Posté par
MatheuxMatou
re : Images directe et indirecte 17-10-09 à 19:27

:?:?

Posté par
MatheuxMatou
re : Images directe et indirecte 17-10-09 à 19:29

tu veux montrer que g est surjective, non ?

si tu sais démontrer cette égalité, tu as terminé ! Pour tout A de P(E), tu auras donc g(f(A))=A, donc A a un antécédent par g, donc g est surjective.

MM

Posté par
tom_dp
re : Images directe et indirecte 17-10-09 à 20:03

En faite, je sais qu'il faut arriver cette égalité: f-1(f(A))=A et aussi je la sais démontrer. Mais comment arriver a cette égalité toute bête car si je met ça sans aucune explication...........

Posté par
MatheuxMatou
re : Images directe et indirecte 17-10-09 à 20:23

Citation :
toute bête


pas vraiment "toute bête" car elle n'est pas toujours vraie !

Posté par
tom_dp
re : Images directe et indirecte 17-10-09 à 20:41

Oui c'est vrai mais comment arriver à cette égalité? Car si on balance d'un coup qu'il faut démontrer f-1(f(A))=A ........
Je demande pas de la démontrer car c'est déja fait, grace à l'injectivité de f!

Posté par
tom_dp
re : Images directe et indirecte 17-10-09 à 21:47

Bonsoir, quelqu'un pourrait me dire comment arrive t-on à cette égalité ? Car il y a bien une étape avant cette égalité!

Posté par
MatheuxMatou
re : Images directe et indirecte 17-10-09 à 21:53

écoute : tu veux montrer que g est surjective
si tu te donnes A dans l'ensemble d'arrivé de g, il faut donc lui trouver un antécédent
ok ?
bon,
ben tu montres que f(A) est un antécédent de a par g
et pis c'est tout !

mm

Posté par
tom_dp
re : Images directe et indirecte 18-10-09 à 11:26

Oki Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
MatheuxMatou
re : Images directe et indirecte 18-10-09 à 11:29

pas de quoi

MM



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