Bonjour.

Sous quelle forme voulez-vous réduire l'expression ? H est-il complexe ou réel ?

Bonjour

Une petite question en plus de celles d'amauryxiv: j désigne-t-il l'un des deux complexes de carré -1 (qu'on note habituellement i et -i) ou bien, avec les notations habituelles, désigne-t-il le complexe ?

H est un réel.

En fait il s'agit d'un problème d'acoustique:
Je souhaite calculer le coefficient de réflexion d'un matériau quelconque. Je mesure la réflexion d'un signal sonore de fréquence connue sur un échantillon du matériau avec deux microphones distants de l'échantillon de y et z respectivement (y et z en mètres).

H est la fonction de transfert entre les deux courbes de réponse en fréquence.
k est le nombre d'onde /c (pulsation/célérité du son)

Je suppose que j (ou i peu importe) désigne un angle de déphasage (en radians) mais je n'en suis pas sûr.

Je dois obtenir un résultat entre 0 (réflexion nulle) et 1 (réflexion totale).

Je ne comprends plus.

Dans ton premier message, tu disais ne pas parvenir à manier les nombres imaginaires dans cette expression;
on en déduisait logiquement que j désignait un nombre imaginaire, en tout cas non réel.

Or tu dis à présent que j (ou i peu importe) désigne un angle en radians...

A mon avis, j désigne bien en effet ce qu'on appelle i en maths.

Dans ce cas de figure, et puisque H, k, y, et z sont réels, ton expression peut s'écrire, en notant w le numérateur et w* son conjugué:

w/(- w*) = - w²/(ww*) = - (He^jky - e^jkz)² /(ww*) .


Or un simple développement montre que le dénominateur de cette nouvelle expression peut s'écrire:


ww* = H² - 2H.cos[k(y - z)] + 1 en utilisant que pour tout réel x, e^jx + e^-jx = 2.cos(x)


Voilà, je ne sais pas si cette nouvelle expression t'avance à quelque chose, mais je ne connais rien en Physique, donc je ne peux pas t'aider davantage.

Au besoin, tu peux poster ton énoncé sur l'île de la Physique en cliquant sur le lien suivant:


Bonne journée!

En tout cas, il n'y a pas de raison mathématique pour que ce résultat soit un réel, et a fortiori qu'il soit compris entre 0 et 1.

Si c'est vraiment le cas, c'est qu'il y a bien des propriétés supplémentaires, sur la fonction H par exemple, que tu dois utiliser, mais que je ne connais pas puisque je ne sais rien du problème physique sous-jacent.

Cependant, le module de l'expression précédente vaut toujours 1!

Ne serait-ce pas ce que tu cherchais à vérifier?

Je vous remercie pour ces informations. Je vais décanter tout ça (c'est encore un peu compliqué pour moi, mais je pense m'en sortir).

Si je n'y parviens pas, je reviendrai sur ce post.
Merci encore.
Jean-Pierre

Je vous en prie! (Pardon de vous avoir tutoyé, mais c'est un peu la tradition sur les forums! )

N'hésitez pas en effet.

Bonne journée à vous!

Non, décidément, je ne m'en sors pas!
J'ai tourné tes instructions dans tous les sens. Ok pour le dénominateur, mais le numérateur bloque.
J'ai passé l'après midi à lire les forums et visionner des cours vidéo, j'ai noirci 15 pages et je n'ai pas avancé. Ce sont des notions que j'ai apprises il y plus de 40 ans et je n'ai pas pratiqué depuis.

Je répète l'expression en termes plus familiers:

z = r.eⁱ -e^i' / e^-i' -r.e^-i

z, r, et ' sont des réels.
Sous la forme trigo j'obtiens:
z=r(cos+i.sin)-(cos'+i.sin')/(cos'-i.sin')-r(cos-i.sin) sauf erreur...
mais ça ne m'avance pas à grand'chose.

Je désire obtenir la valeur de z en réel et je n'arrive pas à me débarrasser des imaginaires...

C'est normal, car z n'est pas forcément réel.

Es-tu sûr que c'est bien z qu'il faut calculer?

Ne serait-ce pas plutôt son module, ou encore sa partie réelle?

Je te rappelle que tout nombre complexe z peut se mettre sous la forme x + i.y où x et y sont des nombres réels (la partie réelle et la partie imaginaire de z).

Cela t'avancerait-il à quelque chose d'avoir x et y?

Dans l'application, z représente un coefficient de réflexion, c'est à dire le quotient de l'énergie réfléchie sur l'énergie incidente. C'est un nombre réel utilisable directement.

Précision concernant :
on a 0,1 < '- < 0,8 (contrainte)
on peut prendre '=2.

Oui, j'ai vérifié, c'est bien un réel positif.
Ensuite on extrait le coefficient d'absorption avec: 1-z²

et z est toujours inférieur à 1

Oooops! à propos de j'ai écrit une erreur:
je confirme qu'on peut prendre '=2. mais la valeur du terme peut être élevée.

Alors c'est ta formule initiale qui est fausse, j'insiste.

Encore une fois, en baptisant w le numérateur, on obtient -w²/(w.w*) où le dénominateur est réel (c'est le carré du module de w).

Donc ton calcul ne peut donner un réel que si -w² en est un, c'est-à-dire si w² en est un.

Or, même si on prend , on a:

qui n'a aucune raison d'être réel!

Contre-exemple pour par exemple.

Ok, tu as certainement raison (je ne suis pas en mesure de contester), je vais vérifier la formule car il existe plusieurs méthodes pour arriver à ce résultat.

Pourtant, ma source vient d'un ouvrage qui fait autorité, écrit par un professeur d'université à Salford (UK), réputé pour être expert dans son domaine.

Bon, j'arrête pour ce soir. Je reviendrai quand j'aurais des éléments tangibles à proposer.
Merci
Jean-Pierre

C'est bizarre tout cela, en effet.Oui, vérifie bien tout cela, et regarde si tu n'as pas oublié d'hypothèse supplémentaire.

Je t'en prie.

J'ai relu ta démonstration qui est exacte. Je dois donc mal interpréter le contexte de la relation.

Pour vérifier ma source, j'ai cherché sur le net et j'ai effectivement retrouvé la formule dans sa première version:
z = r.eⁱ -e^i' / e^-i' -r.e^-i
lien du document:
http://www.img.ufl.edu/publications/AIAA_2002_2465_final.pdf
(formule 2, page 3 dans le document)

Toutefois, il existe des variantes sensées aboutir au même résultat:
z = (r.-e^-i / eⁱ -r) .e^i2'
lien en français:
http://www.acousticeig.unige.ch/Docs/Protocoles%20Labo/Absorption_acoustique_materiaux.pdf
(formule 5, page 4)

ou encore cette version simplifiée:
z = r.-e^-i / eⁱ -r
lien:
http://pcfarina.eng.unipr.it/Public/Papers/056-FASE94.PDF
(valeur absolue dans la formule 2, page 2)

La valeur absolue montre qu'en fait z peut varier entre +1 et -1.
Par ailleurs, je sais que quand r=1, on obtient z=1 (ou-1)

J'ai regardé le premier document, et ils parlent bien de R comme étant "a complex reflection coefficient"... c'est-à-dire un nombre complexe!

Par ailleurs, puisque tu me parles de valeur absolue, je crois comprendre exactement d'où vient ton erreur:

les nombres complexes sont représentables dans un plan et non sur la droite réelle, par conséquent ils ne possèdent pas de valeur absolue, mais bien un module, qui est la distance entre eux et l'origine!

Par suite, si un complexe z vérifie |z| < 1, on ne peut pas en déduire qu'il est entre 0 et 1, mais plutôt qu'il est à une distance de l'origine inférieure ou égale à 1 : autrement dit, qu'il est dans le disque unité!

Ton problème ne proviendrait-il pas de cette confusion?

Cela dit, je n'aurai pas le temps de lire tes autres liens ce soir, à demain donc!

Oui, ça commence à me parler. Je réalise ma confusion, mais je ne suis pas encore en mesure de résoudre mon problème.

J'imagine que connaissant les valeurs des réels, il faut développer l'expression pour la mettre en forme trigonométrique pour la résoudre puis ne garder que le module en valeur absolue? Je cherche mais je dois tout réapprendre, pas à pas. Je n'ose pas publier ici mes tâtonnements.
Je m'interroge:
Si: eⁱ=cos+i sin
j'imagine que la valeur absolue de eⁱ=(cos)²+(sin)²
alors dans ce cas, le module est toujours égal à 1 ?
Donc, r.eⁱ-e^i'= r.1-1 = 0
Ce serait gentil de ne pas rire...

Je n'ai pas ri, je te promets!

Oui, le module de exp(i.theta) vaut tout le temps 1.

De même, le module de r.exp(i.theta) vaut tout le temps r (r réel positif puisque c'est la distance entre 0 et le point), car le module d'un produit, c'est le produit des modules.

En revanche, et c'est là que ça devient faux, le module d'une somme (donc aussi d'une différence) n'est pas (en général) la somme (ou la différence) des modules, donc ton dernier calcul est faux.

Pour t'en convaincre, représente le complexe 1 + i.

C'est le point (1,1).

Son module, c'est la distance entre 0 et lui-même, soit rac(2) par Pythagore.

Or, le module de 1 et le module de i sont tous deux égaux à 1, donc |1 + i| (qui vaut rac(2)) n'est pas égal à |1| + |i| (qui vaut 2).


r.exp(i.theta) - exp(i.theta') vaut [r.cos(theta) - cos(theta')] + i[r.sin(theta) - siin(theta')]

en passant aux parties réelles et imaginaires de chaque terme et en regroupant les résultats.

Son module est donc la racine carrée de la somme des carrés des deux crochets.

Mais je ne sais pas bien ce que tu veux obtenir comme résultat à partir de tout cela.

Le language de ton dernier post est à mon niveau, ça passe mieux.

Est-ce à dire qu'avec un argument négatif on aurait:

exp-(i.theta') - r.exp-(i.theta) vaut [-cos(theta') + r.cos(theta')] + i[-sin(theta') + r.sin(theta)]

Je crains d'avoir commis des erreurs de signe.

Ooops! il y un ' en trop. Lire:

exp-(i.theta') - r.exp-(i.theta) vaut [-cos(theta') + r.cos(theta)] + i[-sin(theta') + r.sin(theta)]

ça doit pas être ça, car la seconde expression est égale à la première...

Je reprends en essayant de m'exprimer correctement:
Si la partie imaginaire est négative, ne serait-ce pas plutôt:

exp-(i.theta') - r.exp-(i.theta) qui vaudrait
[cos(theta') - r.cos(theta)] + i[sin(theta') - r.sin(theta)]

???

Ben non, c'est encore la même chose... Je ne sais plus...

Bonjour sourissez

Merci.
J'étais en train de m'en apercevoir en portant les points sur un cercle.

Je continue et te tiendrai informé. Normalement je dois réussir maintenant (enfin... je touche du bois...)

Bon, j'ai encore passé la journée à essayer de résoudre la relation sans succès. Numérateur et dénominateur ont toujours le même module quelque soit la valeur de r, theta ou theta'

J'ai noirci des dizaines de pages sans avancer, je jette l'éponge, c'est trop compliqué pour moi.

Je ne sais pas comment te remercier pour ton aide. Je suis reconnaissant devant ta persévérance. Merci encore.

Sourissez,

j'aimerais tout de même savoir ce que tu cherches à obtenir.Si c'est que R est un réel, c'est malheureusement faux comme je te l'ai démontré.

Si c'est que son module vaut 1, c'est évident puisque R est le quotient d'un complexe par l'opposé de son conjugué, et que le module du conjugué est égal au module du complexe initial.

Mais peut-être n'as-tu pas vu pourquoi on retrouve bien l'opposé du conjugué en bas?

Tout simplement parce que de façon générale, le conjugué de r.exp(i.thêta), c'est r.exp(-i.thêta).

Après, je ne sais pas ce que tu appelles "résoudre ce truc".

Qu'escomptes-tu, en somme?

Si c'est trouver la partie réelle et la partie imaginaire, je peux te les donner sans problème!


En tout cas, c'est avec plaisir que je t'ai répondu.N'hésite pas à reposter sur le forum en tout cas, que ce soit sur ce thème ou sur autre chose.

Bonne soirée!

Merci de me répondre.

Oui, je souhaite connaître la partie réelle et imaginaire de ce nombre.

Me donner la solution me permettra de sortir de ce cauchemar.
J'ai l'intention de prendre quelques cours pour ne pas rester handicapé.

Ouh là, eh bien dis-moi, il a vraiment l'air de te tenir à coeur, ce problème!


Voici les réponses, elles sont malheureusement très compliquées:






Sauf erreur bien entendu

Sinon je t'ai également donné une expression plus compacte lors de mon premier message, avec le même dénominateur mais avec un numérateur au carré, non développé en partie réelle et partie imaginaire.

En lisant ta réponse je réalise que j'étais encore très loin du but. Je te remercie. Je vais l'appliquer pour juger de la cohérence des résultats.
Si tu souhaites savoir à quoi ça sert, j'ai rédigé ce petit descriptif. Loin de moi l'idée d'introduire un cours de physique dans cette partie du forum. C'est juste pour ton information.

"Quand une onde sonore rencontre un obstacle, une partie de son énergie est absorbée (ou transmise) par l'obstacle et l'autre partie est réfléchie. Tous les matériaux qui nous entourent absorbent plus ou moins l'énergie sonore. Chaque matériau possède un coefficient d'aborption compris entre 0 (absorption nulle) et 1 (absorption totale ou infinie). Par exemple, le coefficient d'une fenêtre ouverte vaut 1 (le son sort et ne revient pas). Pour connaître l'absorption d'un objet on multiplie le coefficient du matériau dont il est fait ou recouvert par sa surface développée.

Connaissant l'absorption des parois et des objets qui composent une pièce, le volume de la pièce et la célérité du son, on peut calculer, le temps que met le son pour décroître d'un million de fois moins que sa valeur initiale après extinction de la source (-60 décibels). Cette durée, appelée "temps de réverbération" est un paramètre important pour qualifier le confort acoustique d'une pièce d'habitation ou d'un local.

Il existe 2 méthodes pour obtenir le coefficient d'absorption d'un matériau. L'une utilise un "tube à impédance" qui mesure la réflexion d'un échantillon de matériau sous incidence normale. Le résultat compris entre 0 et 1 est directement utilisable pour tous les calculs subséquents.
Une autre méthode utilise une chambre réverbérante. C'est une salle de 200m3, aux murs épais et lisses avec une géométrie particulière. L'échantillon est "bombardé" par un signal sonore sous des angles d'incidence multiples. Si ce montage correspond davantage à la réalité, les résultats moins utilisables car la surface frontale retenue et la surface exposée sont différentes. Cela donne des valeurs fantaisistes pouvant aller jusqu'à 3 ou 4 pour le plus grand bonheur des fabricants qui rivalisent en vantant ainsi les propriétés de leur produit.

Pour obtenir des coefficients exploitables, il faut faire mesurer un échantillon dans un laboratoire équipé d'un tube. J'ai construit un tube à impédance (et même plusieurs car la bande de fréquences est limitée par la taille). Le tube est fermé à une extrémité par un haut-parleur et à l'autre par l'échantillon à tester. Deux microphones placés à des distances différentes de l'échantillon captent la pression acoustique dans le tube. La fonction de transfert obtenue par le quotient des pressions à une fréquence donnée donne le réel "r" de la formule. Theta représente le produit de la distance micro/échantillon par le nombre d'onde (lui-même égal au quotient w/c= pulsation/célérité du son. Chaque micro ayant sa propre distance nous avons theta et theta'.
Le coefficient d'absorption découle du module de z avec a= 1-z2. Mais il faut d'abord calculer z d'où le début de mes déboires."

Pour moi, tout cela est très simple, sauf la partie mathématique et ces satanés nombres complexes...
Merci encore.

La cerise sur le gâteau, c'est qu'en plus, ça fonctionne!
Les premières simulations donnent des résultats cohérents.
Bon, ben je vais me mettre aux maths...
Dernière question: si ce n'est pas indiscret, quel métier fais-tu?

Merci pour toutes ces explications!

Je suis très heureux que ça fonctionne, il ne fallait pas tant hésiter à me demander la solution si tu étais dans une telle situation d'urgence!

Je suis tout simplement...professeur de mathématiques (en Lycée).Original, n'est-ce pas?

Pour en revenir à tes explications, j'ai bien compris (enfin je crois!) le début, mais j'ai plus de mal avec la fin, notamment quand tu parles de z.Qu'est-ce que z, au fait?Car, s'il s'agit simplement d'une autre notation de R, et que tu souhaites trouver le module de z, la réponse est 1 !

Et toi, puis-je te demander quel est ton métier?
Inventeur? Es-tu le narrateur de ce texte, celui qui dit qu'il a inventé ce fameux tube à impédance?
Si oui, chapeau!

Il n'y avait pas vraiment d'urgence mais je mets de la passion dans mon travail et c'est un sujet qui me tient à coeur (question d'éthique vis à vis des performances fantaisistes qui circulent un peu partout et trompent les néophytes).
Et puis j'avais sous estimé la question et... je pensais m'en sortir presque seul.

Evidemment, prof de maths... je comprends mieux.

Dans mon texte z représente R. R est le terme utilisé en physique pour le coefficient de réflexion.

Non, je ne suis pas l'inventeur du tube à impédance, ça existe depuis le début du siècle dernier. Seules les procédures ont évolué.

Je fais beaucoup de choses. J'évolue depuis 38 ans dans les studios d'enregistrement (musique et cinéma). Electronicien de formation j'ai fabriqué des consoles de mixage, avec succès tant que l'analogique était d'actualité:
http://www.lafontaudio.com
(ce site déjà ancien est en anglais car la majeur partie des mes clients était aux USA).
Depuis, je suis consultant en acoustique (en France). Je fabrique ou distribue des éléments de correction:
http://www.akustar.com
et je construis des studios:
http://www.lafontaudio.com/galerie.htm

Encore merci et bravo.