Salut

Pour les lp :

Oui bien sûr, on a la majoration !

Pour les Lp ce n'est plus vrai. Par contre si la mesure est finie on a Lq qui est inclus dans Lp !

Cette majoration laisse donc penser que si p<q, alors lq lp, c'est l'inverse de ce que j'ai marqué dans mon premier post !

Alors attend, je vais essayer de montrer le contraire de ce que tu dis, tu m'expliqueras où est l'erreur.

Dans toute la suite, p<q.

- Pour les lp :
(un) une suite d'un ensemble X.
On suppose (un) lp. Alors |un|^p <

A partir d'un certain rang, |un|<1 et donc |un|^q<|un|^p

Donc |un|^q < ; (un) lq.

Il me semble donc avoir montré que lp lq, non ?

Oui pardon la majoration portait sur |un|^q bien sûr !

D'accord, on a donc bien lp lq.

Et pas avec les Lp ? Y a t-il un contre-exemple ?

On doit bien pouvoir trouver un truc en prenant la mesure de Lebesgue sur R.

Oui un exemple simple, est de carré Lebesgue-intégrable mais pas Lebesgue-intégrable.

Et non c'est pas un contre exemple.

Si on veut montrer que L1 n'est pas inclus dans L2, il faut trouver un élément de L1 qui n'est pas dans L2. Ce n'est pas le cas de la fonction que tu proposes

Ah oui je l'ai pris à l'envers, décidément...

Bonjour, les inclusions des l^p sont équivalentes à certaines possibilités de trouver des ensembles de mesures arbitrairement grande ou arbitrairement petit dans ton espace mesuré.

Une fonction L1(R) non L2(R) serait par exemple phi(x)/sqrt(x) où phi est l'indicatrice de [0,1].

Ah non c'était bon mon truc mais on s'est mal compris.

Je t'ai donné un contre exemple de dans le cas où l'on a une mesure non finie sur notre espace.

Je pense que tu voulais un contre exemple de c'est ça?

Et pas avec les Lp ? Y a t-il un contre-exemple ?
Si le résultat est faux c'est qu'il y'a des contre exemples

les trucs un peu plus pénibles sont les trucs du genre
f est dans L^p pour tout p>q mais pas L^q disons.

Nightmare -> on a montré que si p<q alors lp lq. Je me demandais si on avait de même Lp Lq. Avec ton contre exemple, on sait que Lq n'est pas inclus dans Lp mais mon interrogation initiale demeure

otto -> Lol oui je voulais dire de contre exemple pas trop tarabiscoté

Mais j'ai pas tout compris d'ailleurs. Avec la première majoration de Nightmare, je conclus que si p<q, on a lplq.

Mais que signifie le "les inclusions des l^p sont équivalentes à certaines possibilités de trouver des ensembles de mesures arbitrairement grande ou arbitrairement petit dans ton espace mesuré" ? Que ce n'est pas toujours vrai ?

Ne serait-ce pas "Lp" au lieu de "lp" dans la phrase d'otto que j'ai recopiée ? A ce momment là, je comprendrais mieux...

Ca dépend de la mesure et de ton espace mesuré.

Oui L^p si tu considères que l^p est le cas de la mesure de dénombrement, mais moi je ne faisais pas la distinction, j'appelle tout l^p.

D'accord, un petit récapitulatif pour voir si j'ai bien compris :

- Si p<q, alors lp lq l.

- Si p<q, les inclusions des Lp dépendent de la mesure choisie mais si la mesure de l'ensemble sur lequel on travaille est finie, alors on a LLqLp.

C'est bien ça...?