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Inégalités à démontrer ^^

Posté par
olive_68 17-09-09 à 22:07

Bonjour

Bon j'ai réfléchie depuis bientôt une semaine à ce problème mais je n'arrive pas à en sortir quelque chose d'acceptable ..

Citation :
Soient 3$a,b,c des nombres réels 3$> \ 0. Si 3$\red \fbox{a+b+c=1 alors on a :

                       3$\fbox{\(\fr{1}{a}-1\)\(\fr{1}{b}-1\)\(\fr{1}{c}-1\)\ge 8


J'ai tenté plusieurs truc, exprimer une variable en fonction des deux autres et tenter de faire quelque chose mais ça me donne des trucs carrément moche..

J'ai pensé à utiliser le fait que le produit de deux nombres est forcément plus petit que la somme de ces deux derniers, mais je ne trouve pas vraiment de cas où l'appliquer ..

Et quelques petits bidouillage qui ne m'aide pas à vrai dire ..

Si vous pouviez me venir en aide, me donner quelques pistes  

Merci d'avance

Posté par
yoyodadare : Inégalités à démontrer ^^ 17-09-09 à 22:26

Re !

Ton problème revient à (1-a).(1-b).(1-c) \le 8abc

Or 1-a = b+c, 1-b = a+c, 1-c = a+b

On a donc (b+c).(a+c).(a+b) \le 8abc

OR: b+c \le 2.\sqrt{bc}, ...
je te laisse la fin

Posté par
yoyodadare : Inégalités à démontrer ^^ 17-09-09 à 22:27

Il faut remplacer les \le par des \ge ...

Posté par
olive_68re : Inégalités à démontrer ^^ 17-09-09 à 22:30

Eh encore toi !

Wow ! Trop fort !! J'aurais du y pensé à ça avec l'autre exercice que je me suis tapé avant ^^

Merci beaucoup pour ton aide !! Faut que je m'habitue à pensé en maths sup qui vient de naître et plutôt qu'avec mes réflexes de terminale ^^

Merci pour toute l'aide que tu as pu m'apporter

Posté par
yoyodadare : Inégalités à démontrer ^^ 17-09-09 à 22:39

Bah disons que c'est pas vraiment différent d'un exo de TS, si ce n'est que dans ce type d'exos on manipule un peu plus de données, ce qui rend la solution moins "évidente" au premier abord. Mais avec la pratique tu auras les automatismes qui t'aideront à "voir" par où chercher


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