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Injectivité, Surjectivité, Bijectivité.
Bonjour, n'ayant pas eu de cours ce semestre en Math 1 algèbre, le prof nous a donné un exo pour préparer le partiel (oui, oui, un partiel sans cours ...).
J'ai quelques difficultés avec cet exercice..
Considérons les fonctions f et h suivantes :
- f : 
\ {−1} 
définie par f(x) = (3x−2)/(x+1)
- h : \ {−1} {0, 1} avec h(x) = 1 si x est rationnel, et h(x) = 0 si x
est irrationnel.
(a) Montrer que f est injective mais pas surjective.
(b) Déterminer f( \ {−1}).
Penser à faire le tableau de variation de f ou à tracer le graphique de
f pour vous aider.
(c) En déduire un ensemble E tel que la fonction g : R \ {−1} E, avec
g(x) = f(x) soit une bijection. Donner la bijection réciproque de g.
(d) On considère la fonction φ : R \ {−1} E × {0, 1} définie par
φ(x) = (g(x), h(x)). Est-elle injective ? surjective ? Justifer la réponse.
Allons-y doucement, voici mon raisonnement pour la (a) :
f injective 
(x,y) 
\ {-1}, f(x) = f(y) 
x = y.
Soient x, y \ {-1} tel que f(x) = f(y).
(3x-2)/(x+1) = (3y-2)/(y+1)
(3x-2)*(y+1) = (3y-2)*(x+1)
3xy + 3x - 2y -2 = 3xy + 3y - 2x - 2
5x = 5y
x = y
Donc la fonction f est injective.
Quelqu'un peut-il infirmer/confirmer mon raisonnement, pour que je passe à la question suivante s'il-vous-plait ?
Merci 
C'est bon !
Mais j'aurais fait ça différemment. Dès l'instant qu'une réciproque existe, il est évident qu'il existe une bijection entre l'ensemble de définition et son image !
Or on sait que toute expression homographique, c'est-à-dire du type (avec c
0 (auquel cas il s'agit d'une fonction affine) et cb-ad 0 (auquel cas il s'agit d'une fonction constante)) admet une réciproque !
Si , cela signifie
d'abord que x est différent de
en deuxième lieu que y ne peut être égal à , car
laquelle expression est non nulle.
et ensuite que:
y*(cx+d)=ax+b
x(cy-a)=b-yd
Ainsi, la valeur est bien la seule dont l'image est y !
Mais ton raisonnement est parfaitement correct !
Merci pour la réponse
J'en viens à démontrer qu'elle n'est pas surjective. Bien envie d'un raisonnement par l'absurde.
f surjective y Y, 
x X tel que f(x) = y.
Sauf que là, blocage. A quoi ça me mène ? Pas grand chose, (3x-2)/(x+1) = y, ça m'amène rien de particulier :s .
(b) Déterminer f( \ {-1}.
Bon, l'image d'un ensemble ça me dit rien. Je calcule la dérive : 5/(x+1)² > 0. Donc la fonction est censée être strictement croissante. En traçant la courbe, je vois que non. Où est le problème ?
Merci !
Bonjour
Exercice entièrement trairé ici: 
application reciproque injection surjetcion bijection
Et bien, merci beaucoup. Pourtant la recherche ne m'avait rien donné, désolé d'avoir crée un nouveau topic 
Bonne journée.
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