Bonjour,

Si une telle subdivision existe, alors on a , avec et .

Tu peux utiliser Chasles pour calculer , en séparant l'intégrale pour chaque petite subdivision.

a) est facile, décompose l'intégrale en une somme sur chaque segment de la subdivision et remplace par I/n chaque intégrale de la somme et tu vas tomber sur le résultat.

b) la fonction est croissante puisque f est positive, avec le théorème des valeurs intermédiaires, tu devrais arriver à montrer qu'il existe un x_k unique qui vaut kI/n

ha désolé Flewer, je n'avais pas vu que tu avais déjà répondu. Je vous laisse.

Glapion, je pense que as tout dit pour la b) aussi, donc tu peux continuer, je dois faire autre chose donc ma présence sur le forum risque d'être approximative dans les prochaines heures.

Merci Flewer et Glapion !
Oui la a) est effectivement triviale.
Donc pour la b), on utilise le TVI dans le cas d'une fonction monotone en disant que
f(x)= admet une unique solution qui est kI/n d'après a)

Non j'ai raconté n'importe quoi...
c'est bon en tous cas, j'ai saisi !

il faut quand même justifier que kI/n est bien entre 0 et
(c'est pas bien dur mais il faut le dire)

et puis attention c'est pas le même f, écris par exemple un F majuscule
F(x)=

D'accord.
On me demande ensuite
qui est je pense égal à qui vaut donc 0
Enfin on me demande de prouver
Ca me fait penser aux sommes de Riemann mais je ne vois pas comment obtenir le résultat...

Qu'est-ce qui te fait dire le premier résultat ? Ce n'est pas égal à ce que tu dis...

Pour moi la somme des xk c'est la distance entre a et b.

Tu trouves ?
Que vaut déjà ?

En effet, méchante erreur...

Du coup je ne vois pas

Je chercherai demain, car cela ne me paraît pas évident comme ça.

une idée comme ça.
c'est la moyenne de cesàro.

le théorème de cesàro dit que si les x_k convergent vers une limite L alors la moyenne de cesàro converge vers la même limite.

or les x_k convergent car c'est une suite croissante et majorée par b.
il devrait être plus facile de trouver la limite des x_k que la limite de leur moyenne. ils tendent probablement vers b mais il faut le démontrer.

x_k = a + k(b - a)/n donc  
x₀ +....+ x_n = a + (a +(b - a)/n ) +....+  (a + k(b - a)/n ) + .....+  (a +n(b - a)/n )
= (n + 1)a + (b - a) (1 + 2 +...+ n)/n
donc  (x₀ +....+ x_n)/n = (n + 1)a/n + (b - a) (n + 1)/2n a + (b  - a)/2 = (a + b)/2.

Comme   , je pense que la question suivante n'est pas celle que tu as écrite .

Dans ce que j'ai raconté j'ai pris  x_k = a + (b - a)/n ce qui n'est pas le cas  . A revoir donc !

Ca me semble être la bonne façon de faire Glapion !

On peut supposer I = 1 .
Soit F la primitive de f telle que F(a) = 0 .
  F est strictement croissante donc est bijective de [a , b] sur [0  , 1]  .  
Soit G = F^-1 : [0 , 1] [a , b] .
Pour tout k on a : x_k = G(k/n) .

(x₀ +....+ x_n)/n   tend donc vers _{[0 , 1]} G  = (b - a) - F(b) .


  

etniopal, j'avais pensé à ton raisonnement premier, mais il n'y a pas équipartition de la subdivision.
Mais le résultat est intuitif : plus la subdivision grandit, plus elle prendra de points entre a et b de façon à recouvrir tout l'intervalle. Donc cela revient à sommer en moyenne la valeur moyenne des xk dont on s'aperçoit, plus la subdivision grandit, qu'elle vaut (a+b)/2.
Comme (n+1)/n tend vers 1, la limite est sûrement celle que tu as proposé.

bonjour,
@ethniopal
Glapion t'a donné la solution pour la limite avec la moyenne de cesaro
La justification de la limite  de la suite  qui est b est facile à trouver
Suite croissante majorée par b  donc convergente
or
si la limite de n'est pas b, ne vois-tu pas une contradiction ?

oui ça c'est assez simple à trouver. Ce que je ne vois pas personnellement c'est

parce que Césaro sur devrait donner f(b) comme limite si les x_k tendent vers b et que f est continue (admettons), non ?

Salut DOMOREA,
merci de la réponse !
Aurais-tu une idée pour prouver que ?

Je ne vois pas ce que le carré vient faire en fait, ni comment le faire apparaitre

Vous parlez de"  la suite n x_n " . Mais il n'y en n'a pas !

Pour chaque entier n > 0 , il existe une suite  v_n strictement croissante de longueur n+1 telle que a = v_n(0) < v_n < ....< v_n(n) = b .

Ce qu'on note , n étant donné , x_k devrait l'être v_n(k) ou x_n,k  .

D'ailleurs  ,,pour  tout n , k entiers tels  que  0 k n ,  on a  : x_n,k  = G(k/n)  (à prouver )

re bonjour,
Pour la dernière question je te propose une piste : le deuxième membre de l'égalité à démontrer me fait fortement penser à la formule de la moyenne avec ici f=g



d'où
f étant continue, il existe c appartenant à [a,b] tel que
Maintenant cela ne démontre pas l'égalité avec le premier membre de ton égalité

Par ailleurs , pour  tout n , k entiers tels  que  0   k   n  ona  f(x_k) = f(G(k/n)) donc

(f(x₀)+.....+f(x_n)/n    L :  _[a,b] f (G(s))ds   et le  changement de variable  s = F(t)  montre que L = _[0,1] f (t)F'(t)dt = ce qu'il faut .

@etniopal
je ne comprends pas, si j'ai correctement lu, tu écris que le membre de gauche est égal au numérateur du membre de droite ??

J'ai supposé que I = 1 .

Bonjour à tous,

Je demande une petite précision à demander à mon ami AlexGP : la fonction f d'origine, quand tu dis qu'elle est strictement positive, c'est :

1- qu'elle est positive et et il existe un point où elle est strictement positive (ce qui est la définition exacte d'un fonction strictement positive) auquel cas la subdivision recherchée n'est pas unique (disons qu'elle dépend de n) ?

ou

2- La fonction ne s'annule jamais tout en restant positive ?

Je suppose que ça doit être 2-

AlexGP @ 29-08-2016 à 15:06

Salut DOMOREA,
une idée pour prouver que ?

@etniopal
ok pour le 1 qui est la valeur  choisie pour ton intégrale, mais tu dois définir une nouvelle fonction
et je ne vois pas l'intérêt car tu pourrais travailler sur l'intervalle [0;I] c'st ce que je refais par la suite

Ensuite si j'ai bien compris c'est est égal à L et avec le changement de variable c'est sur [a,b]     car s est une variable sur [0;I]     donc c'est égal à
Comment traites- tu le dénominateur du texte  avec cette méthode ?

Comment démontres-tu que tend vers L ?
cela tu l'as énoncé en supposant une subdivision  à pas constant et tu t'es repris
pour moi avec les sommes de Riemann cela vaut 1 ou I selon le choix. donc je ne comprends plus rien.
De toute manière ton résultat me semble en contradiction avec ce que j'écris au post de 15h43

Remarque qui n'a rien à voir:
En relisant la suite des posts j'ai en effet remarqué une grosse bêtise , je me suis laissé emporté par l'intervention de Glapion.
Je suis d'accord avec toi, etniopal, il n'y a pas de suite , il s'agit d'une suite de subdivisions que l'on doit noter avec un double indice  par exemple
que l'on ne doit pas confondre avec une puissance.

oui effectivement les x_n ne sont pas une suite mais une une suite de subdivisions. Je vois mon erreur. Césaro ne marche pas alors ?

salut

je n'étais pas intervenu avant car n'ayant aucune idée ...

bien que n'étant pas d'accord avec Glapion (mais il a compris) ni sur la définition d'une fonction strictement positive de jsvdb (c'est la 2)

à toute subdivision (x_i) de [a, b] correspond une subdivision (t_i) de [0, 1] en posant



donc

il semble bien que ce soit vrai quelle que soit la propriété de la subdivision ... du moment que tende vers 0 ce qui est le cas puisque la fonction étant continue sur l'intervalle [a, b] elle y est uniformément continue

enfin f continue strictement positive ... assure que tout marche bien


sans passer par les (t_i) : est une somme de Riemann généralisée sur l'intervalle [a, b] associée à la fonction f(x) = x

donc

@DOMOREA.
(f(x₀)+.....+f(x_n)/n   =(1/n) _k f(G(k/n))  tend bien vers  le L que j'ai indiqué .

Le choix de I = 1 n'est pas restrictif  et  simplifie légèrement l'écriture .
Si I 1 ,  on n'a qu'à remplacer f par .f  avec > 0 convenable  et voir que ça marche .

bonjour à tous,
En effet la conclusion  pour le post de jsvdb est exacte
f étant définie sur le compact [a,b] f est uniformément continue, on peut donc écrire:
  
donc
d'où il vient après développement:

merci jsvdb pour avoir :

1/ compléter et montrer proprement que le pas de la subdivision tendait vers 0 ...

je ne voyais pas bien que j'ai souvent penser à minimum et maximum de f mais pas penser à "bêtement" l'appliquer à l'intervalle [x_k, x_{k + 1}] ... en utilisant la propriété de la subdivision (que je ne voyais pas comment utiliser) ...

2/ pour le point 3/ où je voyais pas comment faire ....


ce qui m'étonne c'est qu'en appliquant la même idée que lors de mon premier post on a :



donc avec le résultat de la question 3/ on en déduirait que :



et je ne vois pas pourquoi ce résultat serait vrai


PS : sans remettre en cause ce grand homme qu'est Bourbaki (enfin ce groupe de grands mathématiciens) les définitions évoluent quelquefois au cours du temps :

il me semble que maintenant on utilise usuellement les définitions :

f est positive sur E :

f est strictement positive sur E :

Salut mon ami carpediem

*
Pour le 3/ , tu ne peux pas ré-appliquer la même formule qu'au deux, simplement parce la suite de subdivisions associée à la famille n'a pas nécessairement un pas qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

*
Autre détail qui a son importance, pour le 2/ :
A priori, la subdivision de l'intervalle [a, b] associée à la famille ne forme pas nécessairement un subdivision régulière. Cela n'a pas d'importance puisque l'intégrale d'une fonction Riemann-intégrable ne dépend pas de la suite de subdivisions sur laquelle on l'a calculée, pourvu que cette subdivision ait un pas qui tende vers 0.

*
Concernant le mini-débat de la fonction strictement positive, on ne peut pas faire évoluer la définition sans bousculer un certain nombre de choses.

Pour mémoire, la définition d'une relation stricte est :
Soit un ensemble ordonné.
On définit la relation entre éléments x et y de E par

En revanche, ce que l'on peut faire, dans le cas des ensembles produits, c'est admettre un "abus de notation" dans la mesure où, pour reprendre l'expression favorite de Bourbaki, il n'en résulte aucune confusion.

Je pense qu'admettre que f est strictement positive sur E en posant :   est un abus qui est acceptable. Mais en aucun cas une définition.

ha oui merci ...

3/ oui effectivement ....

2/ oui d'ailleurs c'est ce que je dis dans mon premier post (somme de Riemann "généralisée", i.e. une subdivision quelconque (dont le pas sup tend vers 0 bien sur) et c'est ce que tu démontres d'ailleurs)

point 3/ : je comprends ce que tu veux dire ... mais je ne suis toujours pas d'accord sur ta conclusion :

je peux très bien poser les définitions que j'ai posées ... dans un premier temps ....

si ensuite elles entrent en conflit avec des théorèmes plus généraux ou une théorie plus vaste ... alors il faudra évidemment que je les modifie

peut-être ai-je appris un abus de notation ... mais pour moi il me semble que dire que f est strictement positive sur E signifie : il n'existe pas de x dans E tel f(x) 0

enfin c'est un détail dans le cas présent ... et je te remercie d'avoir éclairé les points obscurs qui me résistaient ... (bon j'avais pas vraiment cherché très loin)

Pour poursuivre cet exercice, on peut chercher si l'énoncé peut s'étendre :

1- à des fonctions continues positives qui s'annulent en un nombre finis de points.
2- à des fonctions continues positives qui s'annulent sur un sous-ensemble discret.
3- à des fonctions continues par morceau, positives et qui ne s'annulent pas et dont les points de discontinuité sont finis.
4- à des fonctions continues par morceau, positives et qui ne s'annulent pas et dont les points de discontinuité sont discrets.

D'entrée de jeu :

pour 1- et 2- on n'a plus de minimum strictement positif.
pour 3- et 4- on n'a plus de continuité ni, à priori, de minimum strictement positif.

Pour que ce soit un peu plus clair :
On dispose d'une fonction numérique continue f définie sur un intervalle J = [a , b]  qui est > 0 sur ]a , b[ .
Soit     la primitive de f qui s'annule en a .
F est bijective croissante de J sur K : = [0 , I] où I = F(b) . On pose G := F^-1
1.
Soient n un entier > 1 et  , pour tout k de {0,1,....,n} , x_k = G(kI/n) .
Pour tout k de {1,....,n} on a alors F(x_k) - F(x_k-1) = I/n .
La  "subdivision"  (x₀,x₁,.....,x_n) de J est d'ailleurs la seule   vérifiant cette propriété car si (y₀,y₁,.....,y_n) en est éventuellement une autre on a :  F(y₁)  = I/n donc  y₁ = G(I/n) = x₁ , F(y₂)  = F(y₁)  + I/n = 2I/n donc y₂)  = x₂ ,etc ...

..La somme x₁/n +....+ x_n/n est donc presque une "somme de Riemann" .

2.
En tout cas , lorsque n + , et donc

3.
donc

Bonjour etniopal.

Juste quelques remarques :

Pourquoi tiens-tu tant à introduire la fonction G ?

Sur la conclusion du 1. : une somme est ou n'est pas une somme de Riemann, mais être presque une somme de Rieman n'est pas à proprement parler un concept mathématique.

Sur la conclusion du 2. : visiblement, la somme converge vers deux limites distinctes. Or à ma connaissance, muni de sa valeur absolue est un espace topologique séparé; donc unicité de la limite en cas d'existence de celle-ci.

Sur la conclusion du 3. : elle me semble bien rapide ... et peu justifiée puisque sauf erreur bien involontaire de ma
part pour une fonction quelconque.

1.Ta remarque concernant "une somme est ou n'est pas une somme de Riemann" est d'une très  grande pertinence .

Pourquoi   introduire la fonction G ?
Justement parce que    si on multiplie x₁/n +....+ x_n/n  par I on a une somme de Riemann concernant G !


2." visiblement " 2 limites "  ?  
   Prouve moi donc  que ce que je trouve n'est pas correct .

3.Il ne s'agit pas de tf(t)F'(t) mais de f(t)F'(t) = (f(t))² .

Scuses, J'ai fait une lecture trop rapide de ton post ce matin. Ça m'apprendra.

A tête reposée, il s'avère bien sûr que ta méthode est la méthode rapide et efficace.
Ce qui est amusant, c'est que j'ai posée (hier soir à minuit passé) G = F^-1 sur un brouillon, j'avais constaté comme toi une belle répartition, puis à minuit, je savais plus ce que je devais faire de ça. Alors j'ai conclu que c'était pas la bonne méthode au lieu de persévérer. D'où ma question un peu hâtive : "pourquoi tiens-tu tant etc" voilà voilà !

@Carpediem :

je reviens un instant sur les Rieman généralisées, suite à un de tes post.

HYPOTHÈSES :

- [a, b] intervalle
- f fonction Riemann intégrable sur [a,b]
- subdivision dudit intervalle tel que le pas de la subdivision tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

CONCLUSION :
Si alors la série converge vers .

La conclusion de ceci ne peut pas s'appliquer dans le cas de ce topic :

La série ne répond pas aux hypothèses en prenant f(x) = x.
En effet, comme on l'a vu, rien ne garantit que et donc rien ne garantit que

La conclusion du 2 n'est donc pas  Lim

Ce qui donne raison supplémentaire à la fonction G d'etniopal

Eh bien je vois que ma question a suscité beaucoup de débats, merci beaucoup à tous ceux qui ont contribué !
Avec toutes ces réponses je me suis un peu perdu je crois... je vais essayer de reprendre tous les posts

effectivement ... je me demandais où mon raisonnement péchait ... en voyant celui d'etniopal que je félicite ...