Bonjour,
c'est une application directe du théorème des valeurs intérmédiaires.

Tu sais que l'intégrale de f sur [u,v] est une certaine valeur, disons A(u,v).
Il est trivialement possible de trouver un rectangle dont 2 sommets sont A et B et de même aire A(u,v) (il suffit de prendre un rectangle de hauteur H convenable).

Il est très clair que H ne peut être plus grand que max(f) et très clair que H ne peut être plus petit que min(f).
Puisque f est continue (on doit supposer f au moins continue par morceau si tu veux donner un sens à la surface, et si c'est continue par morceau il suffit de regarder ce qui se passe sur chacun des morceaux) alors il existe nécessairement un c tel que H=f(c).

Maintenant regarde
[A(a,x+h)-A(a,x)]/h
par la relation de Chasles ca vaut tout simplement A(x,x+h)/h et en utilisant la remarque ci dessus appliquée à u=x et v=x+h tu peux conclure que le taux de variation de l'intégrale de f entre a et x est précisement de f(x).

Ca revient à dire que A(a,x) vaut F(x)-F(a) avec F'=f.

Fais un dessin pour mieux comprendre ce que j'explique.
a+