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Isomorphisme bicontinu

Posté par
Dcamd
13-12-10 à 21:41

Bonsoir,

Je voudrais comprendre pourquoi ceci montrer qu'une application en est bien un. (isomorphisme bicontinu)

f:2->
f(x,y)=sin(y)+xy4+x2
On a : f(0,0)=0
et (f/y)(0,0)=10

Et cela suffit apparemment pour appliquer le théorème des fonctions implicites.

Merci d'avance.

Dcamd

Posté par
GaBuZoMeu
re : Isomorphisme bicontinu 13-12-10 à 23:11

Bonsoir,

Question incompréhensible. Quelle application ? Isomorphisme bicontinu veut dire homéomorphisme ?

Peux-tu énoncer ce que donne le théorème des fonctions implicites dans la situation que tu présentes ?

Posté par
Dcamd
re : Isomorphisme bicontinu 13-12-10 à 23:23

Bonjour GaBuZoMeu,

Le théorème des fonctions implicites après les calculs indiqués dans l'énoncé de ma question permet de conclure que :

Il existe deux voisinages ouverts U et V de 0 dans et une fonction :U de classe C tels que pour tout xU, (x) est l'unique solution yV de l'équation f(x,y)=0.

Et apparemment, une des conditions pour appliquer le théorème est que la dérivée partielle de f par rapport à la seconde variable soit un isomorphisme bicontinu.
(Je comprends ça comme : application différentielle réciproque existe et est continue).

Posté par
Dcamd
re : Isomorphisme bicontinu 13-12-10 à 23:24

Pourquoi trouver 1 0 permet de conclure ?

Posté par
Foxdevil
re : Isomorphisme bicontinu 13-12-10 à 23:44

Bonsoir Dcamd,

Citation :
(Je comprends ça comme : application différentielle réciproque existe et est continue).
Pas exactement. C'est l'application différentielle partielle qui a une réciproque continue (et non nécessairement toute la différentielle). Dans le cadre du théorème des fonctions implicites à deux variables (le cas présent), la différentielle est une matrice (1,2), donc la différentielle partielle (en fait pour l'obtenir il suffit juste de "couper" ta matrice jacobienne) est la partie (1,1) qui ne contient que le coefficient de dérivation partielle de la fonction par rapport à y au point considéré. Or un matrice (1,1) est inversible si et seulement si elle est non nulle (c'est juste un réel!). C'est pourquoi ds ce cas-ci, montrer que c'est différent de 0 est suffisant. Si on utilisait les fonctions implicites en dimensions supérieures, il y aurait effectivement un "vrai" travail sur une différentielle (partielle) pour montrer qu'elle est inversible etc...

Posté par
Dcamd
re : Isomorphisme bicontinu 13-12-10 à 23:51

Ok, Merci Foxdevil. C'est beaucoup plus clair !

Posté par
Foxdevil
re : Isomorphisme bicontinu 14-12-10 à 00:24

Je t'en prie.

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