Sauf erreur de ma part, les 22 instants pythagoriciens d'un tour d'horloge sont tous separes du meme temps
32min et 44s

il y en a 2 par heure en comptant que
2:60 = 3:00 et 8:60=9:00

le passage a 24h ne change rien.

Il s'écoule 360/11 de mn soit 32mn 44s (arrondi à la s la plus proche).

Bonjour,

L'intervalle de temps minimal entre deux instants pythagoriciens est de 32 minutes et 44 secondes.

Explication :
En fait l'intervalle de temps entre deux instants pythagoriciens est constant.
Ces instants se produisent 44 fois par jour, ou 11 fois toutes les 6 heures.
Donc l'intervalle est de 6/11 heures.

Pour l'horloge, j'ai une explication, sauf pour la 1 et la 4...

1 = B'L :  connaît pas
2 = somme d'une série géométrique
3 = caractère html (affiche 3 sur un navigateur)
4 = pas compris
5 = phi est le nombre d'or
6 = factorielle 3
7 = 6,999...
8 = 1000 en binaire
9 = 21 en base 4
10 = C_5,2
11 = 0B en Hexadécimal
12 = racine cubique de 1728

Bonjour,

Après quelques calculs, je trouve 327s soit 5 minutes et 27s.
Obtenu quand l'angle droit passe du centre de la pendule au sommet de l'aiguille des heures ou le contraire (du sommet de l'aiguille des heures au centre de la pendule).

Merci pour cette énigme.

Bonjour,

Temps (arrondi à la seconde la plus proche) s'écoulant au maximum entre 2 instants pythagoriciens consécutifs :
31 minutes 18 secondes
c-à-d 1878 secondes.

Merci pour cette énigme intéressante !

flûte !
la réponse était en fait 0h 32mn 43s
plus précisément 6/11 heure

Bonjour à tous.

Ma réponse : 32 minutes et 44 secondes.

Merci pour l'énigme

Bonjour

Si j'ai bien compris il existe 2 types de triangles
correpondant à l'énoncé:
1/ceux rectangles au centre
2/ceux rectangles au "bord"

Les premiers sont espacés de  1963 s
les seconds alternativement de 1273 et 2655 s

L'espace le plus grand est 1963 s

Le temps maximal entre deux temps pythagoriciens est de 1963,7  secondes,  ce  qui donne 1964 secondes



======================================================================================================

Les aiguilles forment un triangle rectangle si l'angle entre elles est de 90°  ou  60°


état des aiguilles pour un tour complet de cadran (12heures) à partir de 3h00 :

à  3heures  0 minutes      0 secondes  les aiguilles font un angle de 90°
à  3heures  5 minutes   27.2 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 327.2secondes
à  3heures  27 minutes  16.3 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 1309.1secondes
à  3heures  32 minutes  43.6 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  4heures  5 minutes   27.2 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 1963.6secondes
à  4heures  10 minutes  54.5 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  4heures  32 minutes  43.6 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 1309.1secondes
à  4heures  38 minutes  10.9 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  5heures  10 minutes  54.5 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 1963.6secondes
à  5heures  16 minutes  21.8 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  5heures  38 minutes  10.9 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 1309.1secondes
à  5heures  43 minutes  38.1 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 327.2secondes
à  6heures  16 minutes  21.8 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 1963.7secondes
à  6heures  21 minutes    49 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 327.2secondes
à  6heures  43 minutes  38.1 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 1309.1secondes
à  6heures  49 minutes   5.4 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  7heures  21 minutes    49 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 1963.6secondes
à  7heures  27 minutes  16.3 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  7heures  49 minutes   5.4 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 1309.1secondes
à  7heures  54 minutes  32.7 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  8heures  27 minutes  16.3 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 1963.6secondes
à  8heures  32 minutes  43.6 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  8heures  54 minutes  32.7 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 1309.1secondes
à  9heures  0 minutes      0 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 327.2secondes
à  9heures  32 minutes  43.6 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 1963.6secondes
à  9heures  38 minutes  10.9 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  9heures  59 minutes  59.9 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 1309secondes
à  10heures  0 minutes     0 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 1309secondes
à  10heures  5 minutes  27.2 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 327.2secondes
à  10heures  38 minutes  10.9 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 1963.7secondes
à  10heures  43 minutes  38.1 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 327.2secondes
à  11heures  5 minutes   27.2 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 1309.1secondes
à  11heures  10 minutes  54.5 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  11heures  43 minutes  38.1 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 1963.6secondes
à  11heures  49 minutes   5.4 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  12heures  10 minutes  54.5 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 1309.1secondes
à  12heures  16 minutes  21.8 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  12heures  49 minutes   5.4 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 1963.6secondes
à  12heures  54 minutes  32.7 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  13heures  16 minutes  21.8 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 1309.1secondes
à  13heures  21 minutes    49 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 327.2secondes
à  13heures  54 minutes  32.7 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 1963.7secondes
à  14heures  0 minutes      0 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 327.2secondes
à  14heures  21 minutes    49 secondes  les aiguilles font un angle de 60°   et il s'est écoulé : 1309secondes
à  14heures  27 minutes  16.3 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 327.3secondes
à  15heures  0 minutes      0 secondes  les aiguilles font un angle de 90°   et il s'est écoulé : 1963.7secondes

Bonjour,

Je trouve 31s (30.50847457627242s entre 2h18m33.55932203389784s et 2h19m4.067796610170262s).

Mon raisonnement :

Petite aiguille
angle1 = 2pi t / 3600

Grande aiguille
angle2 = 2pi t / 60 = 120pi t / 3600

On a un triangle Pythagoricien pour 4 angles possibles : pi / 3, pi / 2, -pi / 3, -pi / 2

angle2 - angle1 = pi / 3 + 2kpi
118 t = 1200 + 7200k

angle2 - angle1 = pi / 2 + 2kpi
118 t = 1800 + 7200k

angle2 - angle1 = -pi / 3 + 2kpi
118 t = -1200 + 7200k

angle2 - angle1 = -pi / 2 + 2kpi
118 t = -1800 + 7200k

On trie les temps et on prend les différences entre 2 temps.

Merci pour l'énigme.

Bonjour Godefroy,

Les instants pythagoriciens sont ceux où la grande aiguille est à /2 ou /3 de la petite ; tout cela est périodique : ils se succèdent selon la séquence  2,3,9,10 ; 14,15,21,22 ; 26,27,33,34 ; ... etc (en onzièmes d'heure, les soulignés correspondant aux configurations en /2).

L'intervalle le plus long entre instants pythagoriciens consécutifs est donc de 6/11 d'heure 1964 secondes ;
un tel intervalle débute tous les 12/11 d'heure

NB : cet intervalle maximum serait le même si on ne s'occupait que de la configuration "aiguilles à /2".

Bonjour,

J'ai beau chercher le piège, je trouve toujours le même temps entre deux "moments pythagoriciens" (ce qui me semble logique, d'ailleurs).
Le temps entre deux moments consécutifs est donc de 32 minutes et 44 sec.

Merci pour l'énigme

Kidamicalement

Je propose

1950s

Merci à godefroy_le_hardi!

Mieux vaut fixer un repère à la petite aiguille. Dans ce repère, la grande aiguille fait un tour en 12/11 d'heure.
La plus grande durée entre deux instants pythagoriciens est donc 6/11 d'heure, soit 1964 secondes.
(La plus petite durée est 1/11 d'heure, soit 327 secondes)

bonjour
je tente la réponse suivante: 1309 secondes (entre deux moments pythagoriciens successifs où la grande aiguille sera l'hypoténuse du triangle rectangle).
merci pour la joute !

Salut, godefroy! Salut, tous!
Du tac au tac, parce que j'ai pas le temps d'écrire ni de vérifier, je dirais 1964 secondes (6/11 d'heure, en fait).
Merci, à bientôt!

Bonsoir,

il y a deux cas à considérer :
1. L'hypoténuse est la distance entre les deux têtes d'aiguille (angle droit au centre)
2. L'hypoténuse est la grande aiguille

Le premier cas conduit à 22 positions possibles t=+-3/11+12k/11 (*60 pour obtenir le temps en minutes)
Le second cas à 22 autres positions t=+-2/11+12k/11

La première série conduit à un écart constant de 32,72
La seconde a des écarts alternatifs de 21,81 et 43,63
Enfin les deux combinées (avec décalage) donnent des écarts plus variables avec un écart maximum de 32,72 (et un minimum de 5,45)

La réponse est donc 32,72min (32+8/11) soit environ 32min 44s (min de 5m27s).

^{NB: Mettons les pendules à l'heure... ce qui est dommage c'est de ne demander uniquement le maximum (atteint 11 fois) car même en oubliant la seconde série, le maximum reste le même.}

Merci godefroy_lehardi.

Bonsoir Godefroy,

La réponse demandée est 32 min 44 s.
Il s'écoule au maximum entre 2 instants pythagoriciens consécutifs 6/11 d'heure.
Merci pour la joute.

Bonsoir
Je propose 32 min 44 s
A+

Bonjour,
La réponse est d'approximativement 1878 secondes, ou encore 31 minutes et 18 secondes.

La réponse exacte est de secondes.

Démarche
J'ai d'abord simulé l'horloge sur GeoGebra comme ceci :

Soit O le centre de l'horloge.
Lorsque les deux aiguilles sont sur le 12, c'est le départ. Appelons les points H et M respectivement les extrémités des aiguilles des heures et des minutes. Ces deux points sont fixes.
H' et M' sont des points mobiles et correspondent respectivement aux extrémités des aiguilles des heures et des minutes lorsqu'ils sont autre part qu'au point de départ (donc pas sur le 12).
Soit T la variable correspondant au temps écoulé en heures.
Ainsi, lorsque T=1, l'aiguille des minutes à fait un tour complet, donc 360°.

1 heure 360°.
T heures 360T°.

Ainsi, .

Lorsque T=24, l'aiguille des heures à fait son tour.

24 heures 360°.
T heures 15T°.

Ainsi, .

La simulation est finie.

Quelle est la mesure de l'angle ?

.

Et on cherche à savoir lorsque cet angle est droit. Il faut donc qu'il soit égal à 90° OU 270° (car cela fait un angle droit "à l'envers" mais qui compte).

345T = 90
T = 6/23 h

OU :

345T = 270
T = 18/23 h

On remarque que la différence fait 12/23.
À tout hasard, j'ai essayé de rajouter 12/23 à 18/23, ce qui fait 30/23. Quelle ne fut pas ma surprise en constatant que l'angle formé est bien droit !
J'ai continué en essayant pour 42/23 et 54/23 : cela fonctionne.

Je ne saurais pas comme expliquer, mais il semble que pour avoir un angle droit, il suffit que .

Le dernier angle droit qui se forme durant une journée se forme lorsque

Donc les deux aiguilles forment un angle droit 46 fois durant une journée et le temps écoulé entre deux angles droits consécutifs est constant et est égal à heures soit secondes.

Je n'ai pas de preuve mathématique de mes hypothèses, néanmoins je prend le risque.

À bientôt !

1 min 5 s

Bonjour

32 min 44 s je crois.

Merci

Bonjour,

J'ai peut-être fait ça trop vite, mais il me semble bien que le temps max entre deux instants pythagoriciens est de :
30 x 12/11 minutes, soit 1800 x 12/11 secondes
= 1 963,6363... s, arrondi à 1964 secondes.

Réponse : 32 minutes et 44 secondes

Bonjour,

je trouve 1963,6... secondes donc 1964 lorsqu'arrondi soit 32 minutes et 44 secondes.
Pour moi il y a 44  "instants pythagoriciens" dans une journée complète (et une durée constante entre deux consécutifs).

Merci et à la prochaine...

J'avais mal lu la question au départ, j'avais cru qu'il fallait trouver tous les instants t où le triangle formé ainsi est rectangle.

Il n'y a que deux façons de former un triangle rectangle :
- Si les aiguilles sont les deux cathètes -> Si l'angle formé par les aiguilles est de 90 degrés ou 270 degrés.
- Si l'aiguilles des minutes est l'hypoténuse (20cm) et si l'aiguille des heures est une cathètes -> La cathète "invisible" mesure 10V¯(3) -> L'angle formé par les deux aiguilles est de 60 degrés ou 300 degrés.

L'aiguille des heures ne peut être en aucun cas l'hypoténuse car l'aiguille des minutes mesure 20cm et celle des heures 10 -> On ne respecte pas l'inégalité triangulaire.

Partant des deux façons de former un triangle rectangle, j'ai donc créé 4 équations à résoudre, où t représente le temps écoulé depuis minuit (en minute) et n est un nombre naturel qui représente, intuitivement, le nombre de tour fait par l'aiguille des minutes. Il suffit que l'une des quatre égalités soit vraie pour que le triangle soit rectangle.









Toutes les solutions (en t) sont :









J'avais trouvé tous les instant t au cours d'une période de 24h en faisant varier n, mais c'est là que j'avais relu la question. J'ai donc calculé les écarts entre mes solutions. L'écart n'est pas constant, mais le plus grand que j'ai trouvé est , soit approximativement 32 minutes et 44 secondes.

Il s'écoule au maximum :

32min 44sec


Merci pour l'énigme !

Bonjour godefroy_lehardi.
Je propose 1878 secondes. Une grosse demi heure quoi.
Pour la 100°, si ça avait été permis, j'aurais bien proposé de déterminer le temps mini entre deux instants pythagoriciens.
Je n'ai pas cherché, mais ça me parait à priori un peu plus "velu"!
J'ai donc abandonné l'espoir de répondre à cette 100°.

bonjour


les aiguilles peuvent former un triangle rectangle lorsqu'elles forment un angle de 60° et de 90°
à l'aide d'une formule trouvée sur le net, je calcule toutes les heures possibles qui donnent ces angles.

on trouve que les intervalles sont réguliers, il s'agit de 5 min 27 sec et de 27 min 16 sec.

au maximum, il s'agit donc de 27 min 16 sec

par exemple entre 1h 21min 49sec et 1h 49min 5sec

merci pour cette énigme

Bonjour,

32 minutes 44 secondes (1964 secondes).

1964 secondes = 32 minutes 44 secondes

Il s'écoule au maximum 6/11 heures entre 2 instants pythagoriciens consécutifs

Bonjour,
et merci Godefroy_lehardi

Et il s'écoule au minimum 1/11 heures entre 2 instants pythagoriciens consécutifs.
soit 327 secondes = 5 minutes 27 secondes

Salut godefroy,

Je propose un temps maximal d'environ 32 minutes et 44 secondes.

Merci pour l'énigme.

Clôture de l'énigme :

Je n'avais pas fait attention au fait que l'écart maximal était atteint pour les triangles dont l'angle droit était au centre de l'horloge.
Cela permettait même à ceux qui n'avaient pas vu qu'il existait d'autres instants pythagoriciens d'avoir la bonne réponse.
Malgré cela, quelle pêche !

Voici un lien [lien] vers une animation permettant de visualiser les différents instants pythagoriciens (merci à Nicolas_75 )

Je suis désolé de dire que nous nous sommes tous trompé !

La question était :

au moment ou on recule d'une heure les aiguilles passent bien par une position pythagoricienne donc cela remet le compteur a zero donc on n'atteint pas l'heure annoncee par Kidam....

QUOI ??? moi aussi je sors?

Mais non, c'est 31 min 18s = 1878s = 12/3 heure (sur mon horloge "complète de 24 heures")
donc les réponses de Alishisap , de Massab  et de sanantonio312 sont  bonnes.

31 min 18s = 1878s = 12/23 heure

En plus, je me suis planté, puisque 2h00 est un instant pythagoricien !

NON godefroy !!!! ne me retire pas mon smiley !!!!

Je suis étonné, c'est bien la première fois que je me loupe à une énigme pour cause de non compréhension de l'énoncé.

Je pensais que l'angle droit devait se former au centre de l'horloge, d'où ma réponse différente de celle attendue.
Je ne vais bien sûr pas revenir sur le jugement de godefroy, n'empêche que l'énoncé aurait pu préciser.
À moins que ma réponse soit fausse même en considérant ma configuration ?

Bonsoir Alishisap

Bonsoir,

@dino:
après une recherche, B'L est la constante de Legendre (1 bien-sûr)
quant à 2^-1 (mod7), c'est l'inverse de 2, donc 4 car 4x2=1[7]

Je ne devais pas être bien réveillé quand j'ai répondu à cette joute. Après relecture de ma réponse, j'ai réalisé que j'ai calculé les instants pythagoriciens entre l'aiguille des minutes et celle des secondes.
En remplaçant 3600 (1h) par 43200 (12h) et 60 (1min) par 3600 (1h) dans mes calculs, je trouve bien 1964s.
Voila un poisson bien mérité. :p

>godefroy_lehardi

J'ai répondu un nombre entier de secondes 1963
si tu avais demandé le dixième j'aurais dit 1963.6 ou 1963.7.
J'ai fait le tour de toutes les possibilités et j'ai été un des premiers à signaler l'existence des 2 types de triangles rectangles.

Tout cela pour un poisson,je me pose la, question de persister ou de quitter.

Bonjour dpi,

Malheureusement, j'avais bien précisé "arrondi à la seconde la plus proche".

Je sais que tu es assez coutumier des erreurs d'inattention mais ça me ferait de la peine que tu quitte le forum des énigmes pour ça.

Allez, courage !

Voici mon tableau récapitulatif
heure minute seconde (donc limité ..)
Comment définir la vérité entre 1963 et 1964
si on se limite à la seconde...?

Godefroy t'a déjà répondu.

dpi, on comprend que tu soit frustré d'avoir eu un poisson alors que ton raisonnement était parfaitement correct. Cependant, l'énoncé est très clair.

Bonjour Dpi,

La réponse exacte est 6/11 d'heure, c'est donc la "vérité" de référence, que l'on n'a plus qu'à arrondir à la seconde la plus proche ...

>Pierre_D

Tout à fait exact si l'on prend une méthode purement mathématique.

>godefroy_lehardi

Ce que j'essaye d'expliquer ,c'est que dans la méthode horaire ,nous avons bien une montre qui dispose d'une
aiguille d'heure ,d'une aiguille des minutes ,ceçi
pour former ce fameux triangle (j'oublie le deuxième type...)et d'une aiguille des secondes pour préciser.

Donc une fois qu'on a relevé par exemple l'intervalle
4 h 5 min 27 sec précédé de 3 h 32 min  44 sec et
qu'on convertit en secondes on ne peut trouver que 1963
sec d'écart.

En allant plus loin ,bien sûr que j'aurais interpolé,mais