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la courbe de Béziers

Posté par
coctou
22-01-12 à 09:46

Bonjour

On a un réel t de [0;1] et des points M,N,P tels que vecteur AM = t*vecteur AC, vecteur CN=t*vecteur CB, vecteur MP= t* vecteurMN

j'ai fait la figure et maintenant on me demande d'exprimer en fonction de t les coordonnées de M, N, P j'aurai besoin d'aide s'il vous plait

Posté par
dhalte
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 09:57

dans quel repère ?

Posté par
coctou
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 09:57

dans un repère orthonormé

Posté par
dhalte
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:01

quelles sont alors les coordonnées de A, B et C ?

Posté par
coctou
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:03

j'avais oublié de le dire A(0;0) B(6;0) C(3;6)

Posté par
dhalte
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:19

oui, tu avais oublié de le dire...

la courbe de Béziers

\vec{AM} = t\vec{AC}
 \\ \vec{CN} = t\vec{CB}
 \\ \vec{MP} = t\vec{MN}

passage aux coordonnées
(x_m-x_a;y_m-y_a)=t(x_c-x_a;y_c-y_a)
 \\ (x_n-x_c;y_n-y_c)=t(x_b-x_c;y_b-y_c)
 \\ (x_p-x_m;y_p-y_m)=t(x_n-x_m;y_n-y_m)

application numérique
(x_m-0;y_m-0)=t(3-0;6-0)
 \\ (x_n-3;y_n-6)=t(6-3;0-6)
 \\ (x_p-x_m;y_p-y_m)=t(x_n-x_m;y_n-y_m)

résolution
(x_m;y_m)=(3t;6t)
 \\ (x_n;y_n)=(3t+3;-6t+6)
 \\ (x_p;y_p)=(3t+t(3t+3-3t);6t+t(-6t+6-6t))

simplification
(x_p;y_p)=(6t;-12t²+12t)

Posté par
coctou
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:20

merci beaucoup je n'arrivai pas a passer du dessin au numerique

Posté par
dhalte
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:22

et quelles difficultés rencontres-tu donc à appliquer les formules du cours ?

Posté par
coctou
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:25

je ne sais pas ce chapitre nous l'avons fini depuis longtemps je ne sais pas pour quoi j'ai oublié la formule

Posté par
dhalte
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:26

il te faut alors rapidement apprendre à retrouver ce que tu oublies si facilement.

Posté par
coctou
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:27

oui sinon je vais avoir des soucis pour réviser

Posté par
coctou
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:39

comment je fais après pour démontrer les conjectures émises sur AC CB MN

Posté par
dhalte
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:43

tu le fais exprès ou tu as vraiment un problème ?
tu as oublié de nous communiquer de quelles conjectures il était question.

Posté par
coctou
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:44

ce sont des tangentes a la parabole j'ai encore oublié excuse moi

Posté par
dhalte
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:51

ah, ça va mieux en le disant, hein ?
mais tu n'as pas tout dit, c'est incroyable (même si je peux deviner ce que tu omets, il serait urgent que tu t'améliores à ce sujet) : quelle parabole ?

que sais-tu des tangentes à une courbe ?
soit f une fonction dérivable en un point x_0, de nombre dérivé f'(x_0) en ce point, alors une équation de sa tangente est :
y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

il te reste à montrer que les droites (AC), (BC), (MN) sont effectivement des tangentes à cette fantomatique parabole, et donner les points de contact de ces tangentes.

Posté par
coctou
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 10:53

cette formule je l'ai mais ce que je ne comprends pas c'est comment dementrer avec les droites

Posté par
coctou
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 11:02

le problème c'est que en cours nous n'avons jamais appliquée cette formule nous l'avons juste écrite

Posté par
dhalte
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 11:30

ah, si tu n'as pas déjà vu le corrigé de cet exercice, tu ne peux pas le résoudre, c'est clair.

Mais tu ne m'as toujours pas dit comment ton exercice introduit cette parabole. Elle sort d'où ?

Posté par
coctou
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 11:31

la parabole on l'a en faisant le tracé du point p qui a pour equation -1/3x²+2x

Posté par
dhalte
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 12:00



En fonction du paramètre t\in[0;1], le point P a pour coordonnées
(6t;-12t²+12t)

ce point P a des coordonnées (x;y), et si on pose x=6t, alors
y=-12t²+12t=-\frac{12}{6²}(6t)²+2*(6t) = -\frac13x²+2x

cette parabole porte l'ensemble des points P obtenus lorsque t varie de 0 à 1

on étudie la fonction f(x)=-\frac13x²+2x

en particulier sa fonction dérivée est f'(x)=-\frac23x+2

la tangente en A a pour équation
y=2x
or tu montreras que la droite (AC) a pour équation
y=2x

la tangente en B a pour équation
y=-2(x-6)
or tu montreras que la droite (AC) a pour équation
y=-2(x-6)

Soit alors P le point de coordonnées (6t, -12t²+12t)
la tangente en P à cette parabole a pour équation
y=f'(6t)(x-6t)+f(6t)
avec d'ailleurs f(6t)=-12t²+12t,on retrouve le fait que P est sur cette parabole.
y=(-4t+2)x+12t²
or tu montreras que la droite (MN) a pour équation
y=(-4t+2)x+12t²
la courbe de Béziers

Posté par
coctou
re : la courbe de Béziers 22-01-12 à 12:07

ah ok merci beaucoup de m'avoir aidé

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