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Niveau Maths sup
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la logique et ses applications diverses. pièges

Posté par
James bond
17-09-09 à 15:12

bonjour à tous, je suis en train de réviser pour mon premier DS de la semaine prochaine.
ce DS portera sur la logique, les ensembles, et un peu de complexes...

j'ai trouvé un exercice intéressant, que je poste ici:

soient f et g deux applications
soit A l'assertion: " il suffit que l'une des deux applications soit l'application nulle pour que l'application fg soit l'application nulle"

on me demande d'énoncer cette assertion en logique.
j'obtiens:
x,( ( f(x)=0 ou g(x)=0)( f(x)g(x)=0))

celà est il juste?

Posté par
Camélia Correcteur
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 15:17

Bonjour

Non, l'une des applications est nulle se dit

(\forall x\in R)(f(x)=0)\ ou\ (\forall x\in R)(g(x)=0)

Ce que tu as écrit, s'applique par exemple à la fonction f qui vaut 1 sur les rationnels et 0 ailleurs et à la fonction g qui vaut 1 sur les irrationnels et 0 ailleurs.

regarde: P(x): le bébé x est une fille
Q(x): le bébé x est un garçon

Compare (\forall x)P(x)\ ou \ (\forall x) Q(x) avec (\forall x)(P(x)\ ou\ Q(x))

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 15:17

non !

(pardon, bonjour)

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 15:18

arghhh... Camélia... tu es toujours plus rapide

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 15:18

(je vous laisse...)

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 15:21

d'accord, en en fait, le bon enchainement est:

((xR, f(x)=0) ou (xR, g(x)=0)(xR, f(x)g(x) =0))

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 15:24

es celà?

sinon, bonjour MatheuxMatou

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 15:25

oui, c'est cela

(bonjour derechef James)

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 15:28

on me demande de démontrer que cette assertion est juste, je raisonne par disjonction des cas, et je montrer les deux implications suivantes:


( xR, f(x)=0)( xR, f(x)g(x)=0))

et je fais de même avec g

je démontrer ainsi l'assertion A

tout le monde suit?

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 15:31

oui oui, ça va, j'arrive à suivre

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 15:35

trés bien, on me demande d'exprimer la réciproque:

il vient qu'en posant B la réciproque, j'ai:

(xR, f(x)g(x)=0))((xR, f(x)=0) ou (xR, g(x)=0))

maintenant, on me demande la négation de B

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 15:47

pour la négation de B, j'ai:
( xR, f(x)g(x)=0) et (( xR, f(x)0 et  xR, g(x) 0))

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 15:47

es ce celà?

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 16:50

Matheuxmatou, tu es là?

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 17:00

je démontre ainsi que B est fausse ( c'est à dire la réciproque de A)

maintenant, on me de demande de montrer que B est vrai pour f et g deux fonctions polynomes.

comment feriez vous?

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 17:18

personne?

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 18:43

ben non !!! B est vraie !

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 18:45

B est vraie pour les fonctions polynomes et d'autres fonctions, mais dans le cas général B est faux.

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 18:46

ben non ! B est vraie... on peut trouver une fonction f et une fonction g qui vérifient cela !

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 18:48

je parle de la réciproque de A.

ce n'est pas parce que fg est une fonction nulle, que f nulle ou g nulle

j'ai moi même hésité en proposant un contre exemple

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 18:50

A="étant donné deux applications, si l'une des deux est nulle, alors leur produit est l'application nulle"

B=réciproque de A = "si un produit de deux applications est nul, alors une des deux est l'application nulle"

oui, effectivement, B est fausse... je croyais que tu parlais de la dernière phrase logique... qui est en fait NON B

pardon, je me suis mélangé les pinceaux dans les notations

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 18:52

tu confirmes, que c'était un peu vicieux?

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 18:53

non, pas spécialement, mais j'ai repris le post en cours et j'avais un peu oublié tes notations !

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 18:56

ok, maintenant il me faudrait montrer que B est vraie si f et g deux fonctions polynomes
et là honnétement, je vois pas

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 18:58

un polynôme non nul n'a qu'un nombre fini de racines... (au pire son degré)... donc si tu multiplies un polynôme de degré p par un polynôme de degré q, il y a au plus p+q valeurs d'annulation.

Si tu supposes que le produit est nul, le produit est un polynôme ayant une infinité de racines... donc il y a un des deux polynômes qui a une infinité de racines... et qui est donc lui aussi le polynôme nul.

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 19:00

c'est pas du tout bête ce que tu dis là, mais tu penses que celà suffit pour être parfaitement rigoureux?

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 19:00

autre démo : on convient que le degré du polynôme nul est - inf pour que les formules de degré sur les opérations continuent à fonctionner avec le polynôme nul.

d°(PQ)=d°P + d°Q= - inf (puisque PQ = 0)

donc au moins l'un de d°P ou d°Q vaut - inf.

MM

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 19:03

ok, je te dois une fière chandelle MatheuxMatou, mais es ce que tu connaitrais une ruse pour mon post sur les suites?

j'ai testé tout ce dont j'avais à ma disposition, en vain..

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 19:05

je vois pas de quel post tu parles, mais je vais aller voir !

Content de t'être utile...

MM

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 19:06

ce que j'apprécie, c'est voir des méthodes de raisonnement que je ne connais pas encore, afin de devenir meilleur au fur et à mesure.

c'est sympa de m'aider en tout cas

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 19:08

et moi cela me rajeunit de refaire des exos comme ça !

tu es en prépas ?

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 19:10

exact, tu as fais math sup aussi?

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 22:35

oui... mais en 74/75 !

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 22:46

ok, c'était une bonne époque pour toi?
tu t'en es sortie grandie de la prépa?

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 22:47

disons que cela apprends à travailler vite, efficacement et rigoureusement ... quand on rentre dans le jeu !
depuis cela s'est un peu "démocratisé" mais cela reste quand même une petite épreuve !

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 22:49

oui, mais cela t'a t'il permis de faire ce que tu voulais de ta vie?

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 22:50

exactement...

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 22:51

et que fais tu dans la vie?

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 22:56

des maths et de la vulgarisation scientifique (entre autres !)

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 22:57

ok, autre choses que des maths?

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 23:49

tu es toujours là Matheuxmatou?

Posté par
MatheuxMatou
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 23:50

oui mais je vais aller me coucher !

bonne nuit

MM

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 17-09-09 à 23:51

tu pourras m'aider demain sur mon problème de suite?
en tout cas, bonne nuit à toi!

Posté par
appa
re : la logique et ses applications diverses. pièges 18-09-09 à 09:34

"xR, (f(x)g(x)=0)    =>   (xR, f(x)=0) ou (xR, g(x)=0)"
pourquoi un implication, c'est un équivalence puisque c'est un "ou" inclusif!
l'opération marche dans l'autres sens!!!

Posté par
James bond
re : la logique et ses applications diverses. pièges 18-09-09 à 10:33

non, ce n'est pas parce que le produit fg est nul que obligatoirement f ou g sont des fonctions nulles/



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