bonjour à tous, je suis en train de réviser pour mon premier DS de la semaine prochaine.
ce DS portera sur la logique, les ensembles, et un peu de complexes...
j'ai trouvé un exercice intéressant, que je poste ici:
soient f et g deux applications
soit A l'assertion: " il suffit que l'une des deux applications soit l'application nulle pour que l'application fg soit l'application nulle"
on me demande d'énoncer cette assertion en logique.
j'obtiens:
x,( ( f(x)=0 ou g(x)=0)( f(x)g(x)=0))
celà est il juste?
Bonjour
Non, l'une des applications est nulle se dit
Ce que tu as écrit, s'applique par exemple à la fonction f qui vaut 1 sur les rationnels et 0 ailleurs et à la fonction g qui vaut 1 sur les irrationnels et 0 ailleurs.
regarde: P(x): le bébé x est une fille
Q(x): le bébé x est un garçon
Compare avec
on me demande de démontrer que cette assertion est juste, je raisonne par disjonction des cas, et je montrer les deux implications suivantes:
( xR, f(x)=0)( xR, f(x)g(x)=0))
et je fais de même avec g
je démontrer ainsi l'assertion A
tout le monde suit?
trés bien, on me demande d'exprimer la réciproque:
il vient qu'en posant B la réciproque, j'ai:
(xR, f(x)g(x)=0))((xR, f(x)=0) ou (xR, g(x)=0))
maintenant, on me demande la négation de B
je démontre ainsi que B est fausse ( c'est à dire la réciproque de A)
maintenant, on me de demande de montrer que B est vrai pour f et g deux fonctions polynomes.
comment feriez vous?
B est vraie pour les fonctions polynomes et d'autres fonctions, mais dans le cas général B est faux.
je parle de la réciproque de A.
ce n'est pas parce que fg est une fonction nulle, que f nulle ou g nulle
j'ai moi même hésité en proposant un contre exemple
A="étant donné deux applications, si l'une des deux est nulle, alors leur produit est l'application nulle"
B=réciproque de A = "si un produit de deux applications est nul, alors une des deux est l'application nulle"
oui, effectivement, B est fausse... je croyais que tu parlais de la dernière phrase logique... qui est en fait NON B
pardon, je me suis mélangé les pinceaux dans les notations
ok, maintenant il me faudrait montrer que B est vraie si f et g deux fonctions polynomes
et là honnétement, je vois pas
un polynôme non nul n'a qu'un nombre fini de racines... (au pire son degré)... donc si tu multiplies un polynôme de degré p par un polynôme de degré q, il y a au plus p+q valeurs d'annulation.
Si tu supposes que le produit est nul, le produit est un polynôme ayant une infinité de racines... donc il y a un des deux polynômes qui a une infinité de racines... et qui est donc lui aussi le polynôme nul.
c'est pas du tout bête ce que tu dis là, mais tu penses que celà suffit pour être parfaitement rigoureux?
autre démo : on convient que le degré du polynôme nul est - inf pour que les formules de degré sur les opérations continuent à fonctionner avec le polynôme nul.
d°(PQ)=d°P + d°Q= - inf (puisque PQ = 0)
donc au moins l'un de d°P ou d°Q vaut - inf.
MM
ok, je te dois une fière chandelle MatheuxMatou, mais es ce que tu connaitrais une ruse pour mon post sur les suites?
j'ai testé tout ce dont j'avais à ma disposition, en vain..
ce que j'apprécie, c'est voir des méthodes de raisonnement que je ne connais pas encore, afin de devenir meilleur au fur et à mesure.
c'est sympa de m'aider en tout cas
disons que cela apprends à travailler vite, efficacement et rigoureusement ... quand on rentre dans le jeu !
depuis cela s'est un peu "démocratisé" mais cela reste quand même une petite épreuve !
"xR, (f(x)g(x)=0) => (xR, f(x)=0) ou (xR, g(x)=0)"
pourquoi un implication, c'est un équivalence puisque c'est un "ou" inclusif!
l'opération marche dans l'autres sens!!!
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :