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la Trace est un entier naturel
Bonjour je rencontre un petit probleme sur un exo
A
Mn(K) vérifiant A3=2A2-A
Il faut montrer que la trace de A est un entier Naturel.
Je pense qu'il faut regardé avec la somme des valeur propre et montrer que c'est un entier natrel mais n fait je voi pas par ou il faut passer
Merci d'av
Alors toute les valeurs propre de A Sont racine de ce polynome !! c'est ca ?? on calcule
X(X2-2A+1)=0
ssi X=0
ou X =1
Donc trace = 0+1
D'ou la trace egal 1 .. C'est ca N?
Non, ce ne sont pas exactement les racines du polynômes, mais elles font partie des racines. Or ces dernières étant toutes entières, les sommes qu'elles forment seront toujours entières, donc la trace aussi.
Que ne comprends tu pas ?
Tu as un polynome annulateur, et on sait qu'un polynome annulateur est toujours un multiple du polynome minimal. Or le polynome minimal te donne les valeurs propres.
Bonsoir
Relis ce qu'a dit Nightmare:
Les seules valeurs propres possibles sont 0 et 1. Mais ce sont des valeurs propres multiples. Donc chacune doit être comptée plusieurs fois, le plusieurs allant de 0 à n, selon la matrice A donnée.
Si on appelle p la multiplicité de 1 et q la multiplicité de 0,
la trace étant la somme des v.p., elle vaut p. 1 + q.0 = p, nombre entier.
OK?
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