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Le flocon de Koch

Posté par
miniatio
16-02-13 à 18:41

Salut les gens, j'ai un DM de maths à faire (1S hyperbole 89p131) et je n'arrive pas du tout comment me lancé de dans.. Alors....
Le flocon de Koch est une figure géometrique obtenue à partir d'un triangle équilatéral par réitération d'une transformation appliquée à chaque côté du triangle.
Le segment [AB] est transformé en une ligne brisée de quatre segments de longueur 1/3.
1- Etude du nobre de cotés
Pour tout entier naturel n, n>=1 on note Cn le nombre de segments qui constituent le flocon à l'étape n.
a) Donner les valeurs de C1, C2, C3, C4.
b) Démontrer que la suite (Cn) n>=1 est géometrique.
Exprimer Cn en fonction de n.

2) Etude du perimetre
Pour tout entier naturel n, n>=1 on note Un la longueur du segment à l'étape n.
a) Demontrer que la suite (un) n>=1 est geometrique
exprimer un en fonction de n.
b) Démontrer que le périmetre du flocon à l'étape n'est donné par Pn = 3*(4/3)^n-1
3) Etude de l'aire
Pour tout entier naturel n, n>=1, on note an l'aire du flocon à l'étape n.
b) de l'étape n à l'etape n+1, l'aire est augmentée de celle des Cn triangles équilatéraux de cotée un+1.
En déduire an+1-an en fonction de n
c) Calculer (an-an-1)+...+(a2-a1) de deux façons différentes. En déduire la valeur de an pour n>=2
d) Donner une valeur approchée de a50 arrondie au millieme.

JAI VRAIMENT BESOIN A UNE AIDE :/
Merciii d'avance ..

Posté par
Hiphigenie
re : Le flocon de Koch 16-02-13 à 23:02

Bonsoir miniatio

Je suppose que tu as déjà commencé...

La simple lecture de la figure montre que C1=3 ; C2 = 12
Comme l'indique l'énoncé, à chaque étape, un segment en transformé en une ligne brisée de quatre segments.
Donc  C3 = 4*12 = 48 ; C4 = 4*48 = 192.

Ainsi  C_{n+1}=4\times C_n.

La suite  (C_n)  est géométrique de raison 4 et dont le 1er terme est  C_1=3

Citation :
Exprimer Cn en fonction de n.
Applique la formule permettant de calculer  C_n

Petit rappel :  Si (u_n) est une suite géométrique de raison q et dont le premier terme est u_1, alors \boxed{u_n=u_1\times q^{n-1}}

Posté par
Hiphigenie
re : Le flocon de Koch 16-02-13 à 23:08

Question 2)

Citation :
Le segment [AB] est transformé en une ligne brisée de quatre segments de longueur 1/3.
Donc  u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\times u_n

Tu peux ainsi terminer la question 2a).

Pour le périmètre  P_n, on sait qu'à l'étape n, le flocon est constitué de  C_n côtés ayant chacun une longueur  u_n.

Par conséquent,   P_n=C_n\times u_n = ...

Posté par
Hiphigenie
re : Le flocon de Koch 16-02-13 à 23:14

Question 3)

Tu dois savoir que l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est donnée par la formule  Aire = a^2\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}.
Cela se démontre assez facilement si tu penses à calculer la hauteur du triangle équilatéral par Pythagore.

Pour répondre à la question b), essaie de traduire ceci :

Citation :
de l'étape n à l'etape n+1, l'aire est augmentée de celle des Cn triangles équilatéraux de cotée un+1.

Posté par
Hiphigenie
re : Le flocon de Koch 16-02-13 à 23:25

Pour l'aire du triangle équilatéral, voici un lien parmi d'autres pour t'aider.  

Posté par
miniatio
Le flocon de Koch 17-02-13 à 18:17

Merci beaucoup pour l'explication,

Justement avant ton aide j'avais rien compris mais là j'ai presque compris alors j'ai trouvé :
Cn= C1*4^n-1        
    
Un=u1*(1/3)^n-1  

Pn= C1*(4^n-1)*U1*(1/3)^n-1
  = 3*(4/3)^n-1

Avec le pythagore: h²=c²-(c/2)² -> 3/4c²   donc h=racine de(3)/2*c
A= 1/2h*c
= 1/2*(3/4c)*c
= racine de 3/4c²

Alors A1= racine de 3/4*1²
      A1= racine de 3/4
(J'ATTEND LA CONFIRMATION SI MES REPONSES SONT EXACTE )
Puis apres b, je rebloque sur les questions posées , aurez vous d'autre solution à me posé pour que j'arrive à comprendre  l'exo :/

Posté par
miniatio
A1 17-02-13 à 18:26

pour A1= 3/16 ??

Posté par
Hiphigenie
re : Le flocon de Koch 17-02-13 à 20:41

Citation :
Avec le pythagore: h²=c²-(c/2)² -> 3/4c²   donc h=racine de(3)/2*c
A= 1/2h*c
= 1/2*(3/4c)*c
Faute de frappe je suppose...
A=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{c\sqrt{3}}{2}\times c = c^2\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}

Citation :
Alors A1= racine de 3/4*1²
      A1= racine de 3/4
OK!  

A_1=\dfrac{\sqrt{3}}{4}

Je ne comprends pas pourquoi tu as modifié cette réponse dans ton message de 18h26...

Posté par
miniatio
18-02-13 à 20:43

c'est bon enfte apres j'ai fais une erreur de calcul x) mais du coup apres le 3b les questions sont facultatif (a dit la prof ce matin) mais j'aimerais quand meme savoir c'est quoi la formule pour faire le b pck j'ai passé des heure à le faire et encore pas reussi !

Posté par
Hiphigenie
re : Le flocon de Koch 18-02-13 à 20:51

Tu parles de ceci ?

Citation :
b) de l'étape n à l'etape n+1, l'aire est augmentée de celle des Cn triangles équilatéraux de cotée un+1.
En déduire an+1-an en fonction de n

Posté par
Hiphigenie
re : Le flocon de Koch 18-02-13 à 21:22

En vertu de ce qui vient d'être écrit en citation, nous avons :

A_{n+1}-A_n=C_n\times (u_{n+1})^2\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=3.4^{n-1}\times [(\dfrac{1}{3})^n]^2\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=3.4^{n-1}\times [(\dfrac{1}{3})^2]^n\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=3.4^{n-1}\times (\dfrac{1}{9})^n\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=4^{n-1}\times (\dfrac{1}{9})^n\times \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=4^{n-1}\times \dfrac{1}{9^n}\times \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=4^{n-1}\times (\dfrac{1}{9^{n-1}}\times\dfrac{1}{9})\times \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=(\dfrac{4}{9})^{n-1}\times\dfrac{1}{9}\times \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=(\dfrac{4}{9})^{n-1}\times \dfrac{\sqrt{3}}{12}

Posté par
miniatio
18-02-13 à 21:59

Es-tu 1 ange qui a tombé du ciel ?   merciii

Posté par
Hiphigenie
re : Le flocon de Koch 18-02-13 à 22:05

... un ange parmi les flocons...

Posté par
Lrysarah
re : Le flocon de Koch 23-02-15 à 10:25

Bonjour, je ne comprend pas comment on sait que c1=3 et c2=12? Merci

Posté par
Hiphigenie
re : Le flocon de Koch 23-02-15 à 10:35

Bonjour Lrysarah

Comme je l'avais écrit, il suffit de lire sur la figure du livre...

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