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Lemme de Gauss

Posté par
Mouraddddd
19-07-09 à 12:57

Bonjour, pourriez vous m'aider à résoudre l'exercice suivant en se basant uniquemenr sur le lemme de gauss :
Soit a un entier naturel . Montrer que a(7a+1)(2a+1) est divisible par 6.
merci pour votre collaboration.

Posté par
J-R
re : Lemme de Gauss 19-07-09 à 13:22

bonjour,

on peut voir que:

a pair: 2|a

sinon c'est 7a+1 qui est pair et on a 2|7a+1

reste à prouver que 3 divise ton produit : tables de congruences ?

Posté par
frenicle
re : Lemme de Gauss 19-07-09 à 13:49

Bonjour

Comme a(7a + 1)(2a + 1) = a(6a + a + 1)(2a + 1) = a6a(2a + 1) + a(a + 1)(2a + 1)
tout revient à montrer que a(a + 1)(2a + 1) est divisible par 6.

Comme a(a + 1)(2a + 1) = a(a + 1)(a - 1 + a + 2) = a(a + 1)(a - 1) + a(a + 1)(a + 2)
il suffit de montrer que le produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6.

Or sur trois entiers consécutifs, il y a au moins un nombre pair et au moins un multiple de 3.

Cordialement
Frenicle

Posté par
Mouraddddd
lemme de gauss 19-07-09 à 20:51

Bonsoir,
MERCI pour vos réponses. Seulement je croyais pouvoir trouver la solution avec le lemme de gauss sachant que cet exercice est mentionné dans le livre de maths en tant qu'application au lemme de gauss.

MERCI BEAUCOUP ET A BIENTOT
    

Posté par
J-R
re : Lemme de Gauss 20-07-09 à 08:29

qu'appelles-tu lemme de Gauss ?

si c'est : si a, b premiers entre eux  tq a|n et b|n alors (ab)|n ....

alors on l'a bien utilisée.

@+

Posté par
frenicle
re : Lemme de Gauss 20-07-09 à 11:31

D'habitude c'est :

Si a est premier avec b et divise bc, alors a divise c.

Mais je ne vois pas comment l'utiliser ici.

Posté par
bilelyezza
re : Lemme de Gauss 06-12-09 à 09:10

bonjour,
je pense que c'est impossible de la démontrer avec la Lemme de Gauss;
mais on peut terminer la 1ère réponse;
on a montré que ce produit est divisible par 2;
pour montrer qu'il est divisible par 3 on va citer les trois cas possible:

1- si a=3k (avec k) ;
   a(7a+1)(2a+1)=3k(7a+1)(2a+1)
                =3k'           tq (k'=k(7a+1)(2a+1))

2- si a=3k+1
   a(7a+1)(2a+1)=a(7a+1)[2(3k+1)+1]
                =a(7a+1)(6k+2+1)
                =a(7a+1)(6k+3)
                =3a(7a+1)(2k+1)
                =3k'           tq (k'=a(7a+1)(2k+1))


3- si a=3k+2
   a(7a+1)(2a+1)=a(7(3k+2)+1)(2a+1)
                =a(21k+14+1)(2a+1)
                =a(21k+15)(2a+1)
                =3a(7k+5)(2a+1)
                =3k'           tq (k'=a(7k+5)(2a+1))      


===> a on a a(7a+1)(2a+1)est divisible par 6

j'espère que tu m'a compris
@ bientôt

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