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Niveau maths sup
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les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ?

Posté par alucard_xs (invité) 17-07-06 à 15:35

Bonjour à tous,

voilà, avec cette chaleur, je me "plonge" dans les Mathématiques et cela fait une petite semaine que je suis dans les espaces vectoriels, il y a beaucopu de choses à savoir, je le reconnais, beaucoup de définitions également mais j'ai dû raté une marche je pense, car dans les exercices, je bloque pour pas grand chose je pense, je vous donne deux exercices qui me posent problème :

le premier :
Trouver une base du sous-espace vectoriel S de R² défini par:
S={(x,y) appartenant à R² / x-3y=0}
j'ai juste la solution et pas moyen de comprendre ... si vous pouvez m'aidez ...

le deuxième :
Déterminer une base et la dimension du sous-espace vectoriel P de R3 défini par:
P={x,y,z) appartenant à R3 / 2x-y +z=0}

voila mon supplice merci

Posté par
Fractal
re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 17-07-06 à 15:40

Bonjour, pour le premier exercice, une base d'un sous-espace vectoriel est un ensemble de vecteurs tel que tout vecteur du SEV puisse s'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.

Ici, l'ensemble composé du vecteur (3,1) est une base.
Par exemple, soit (x,y) un vecteur de S.
x-3y=0
x=3y

On a donc (x,y)=y*(3,1), (x,y) est bien une combinaison linéaire de (3,1).

Sauf erreur...

Fractal

Posté par
otto
re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 17-07-06 à 15:45

Salut
c'est clair qu'une base est entre autre, un ensemble d'éléments de ton espace.
C'est clair aussi que S et P sont respectivement des sous ensemble de R^2 et de R^3. (en fait même des sous espaces vectoriels, c'est facile, je te laisse le montrer à titre d'exercice)
Bon,vu que S est un sev de R^2, il y'a 2 choix possible:
Il est trivial (R^2 ou {0}) ou il ne l'est pas.
C'est assez clair de voir qu'il n'est pas trivial. Il ne peut donc être que de dimension 1 (de dimension 0 ce serait {0} et de dimension 2, ca n'aurait pas le choix d'être R^2)
Donc S est engendré par un seul élément. Il te suffit donc de prendre un élément non nul de S et ca t'en donnera une base. Par exemple tout élément (x,y) de S vérifie x=3y. Il te suffit donc de prendre y=1 et x=3 et donc (3,1) engendre S.

Pour le 2e il y'a plus de travail à faire.
Ici notre espace va être de dimension 2 (pourquoi je le sais n'est pas important, on va y arriver tranquillement):
Notamment, il ne peut pas être de dimension supérieure à 3, et il n'est trivialement pas de dimension 3 sinon ce serait R^3 lui même.
De même il n'est pas de dimension 0.
Il est soit de dimension 1, soit de dimension 2.
Si je trouve donc 2 vecteurs indépendants dans P, c'est qu'il existe au moins un système libre à 2 éléments dans P, et donc que toute base a au moins 2 éléments (et comme elle n'en a pas 3 d'après ce que je dis plus haut c'est gagné)
Ici, il suffit de trouver des vecteurs (x,y,z) qui vérifient ton équation et qui sont indépendant. La meilleure chose à faire pour en trouver des indépendants, c'est de mettre un maximum de 0. Comme je peux choisir mes vecteurs, je vais mettre un 0 à la place de x et je regarde ce que ca me donne:
z=y
donc un vecteur possible serait (0,1,1)=v1
Je refais la meme chose, mais je dis que z=0, ce qui me donne
2x=y et donc (1,2,0)=v2 est un autre vecteur de P.
Il est facile de voir qu'ils sont indépendant (sinon il existerait un coefficient de proporionnalité entre eux, et comme j'ai fais exprès de mettre des 0 dans les coordonnées, on voit que le coeff de proportionnalité serait 0, et ce n'est pas le cas)
Donc j'ai v1 et v2 qui sont deux vecteurs indépendants dans P qui est de dimension au plus 2, donc P est de dimension 2 et {v1,v2} en est une base.

a+

Posté par alucard_xs (invité)re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 17-07-06 à 15:46

bon merci de votre aide, j'étudie ça et je repost si besoin est

Posté par alucard_xs (invité)re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 17-07-06 à 18:10

bon après étude :

"Notamment, il ne peut pas être de dimension supérieure à 3, et il n'est trivialement pas de dimension 3 sinon ce serait R^3 lui même" -> ok dim E<=dim F (E étant le sev ok), par contre pourquoi cela ne pourrait il pas etre R^3 ?

Posté par
Fractal
re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 17-07-06 à 18:11

Parce que tu peux sans problème trouver un élément de R^3 qui ne soit pas dans P.

Fractal

Posté par alucard_xs (invité)re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 17-07-06 à 20:43

ok merci chef

Posté par Chimomo (invité)re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 17-07-06 à 22:31

Fractal a dit : une base d'un sous-espace vectoriel est un ensemble de vecteurs tel que tout vecteur du SEV puisse s'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.

Je pense que ce n'est qu'un oubli de sa part mais il s'agit là de la définition d'une famille génératrice, pour une base, la combinaison linéaire exprimant un vecteur est unique.

Posté par
Fractal
re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 17-07-06 à 23:32

A ben zut alors, je me disais bien que j'allais dire des bêtises .

Fractal

Posté par
Camélia Correcteur
re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 18-07-06 à 15:04

Bonjour à tous!
Juste une remarque: un espace vectoriel a "beaucoup" de bases (si c'est sur IR, il y en a une infinité). C'est vrai que la plupart des exercices sont rédigés de manière à vous guider, mais il n'y a pas unicité. Seul le nombre d'éléments (pour ne pas dire le cardinal) d'une base est unique; c'est même comme ça que l'on définit la dimension!

Posté par
Fractal
re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 18-07-06 à 15:06

Bonjour, ce que disait Chimomo est que la combinaison linéaire exprimant un vecteur est unique et non pas la base.

Fractal

Posté par
Laurierie
re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 19-07-06 à 17:28

Bonjour. Une autre maniere de voir que P est de dimension 2 est de considérer qu'il s'agit d'un hyperplan de R^3. Idem pour S. A++

Posté par
otto
re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 19-07-06 à 17:52

Je ne pense pas que ce soit la manière la plus adaptée ici, sachant qu'il connait tout juste la définition d'une base ...

Posté par
Laurierie
re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 20-07-06 à 23:35

C'est dans le cours de sup.

Posté par
otto
re : les espaces vectoriels ... comment trouver les bases ? 21-07-06 à 12:37

Et c'est donc pédagogiquement adapté pour un élève qui ne comprend pas un not sur 2 de ce que tu dois raconter?

Il faut bien faire la distinction entre ce que toi tu sais et ce que la personne qui te poses une question sait, et essayer d'adapter ta réponse en conséquence.

Amicalement,
otto

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