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Les matrices à la puissance n

Posté par
TheMax
11-12-06 à 09:18

Bonjour,

Je comprends pas bien cet exercice. On l'a pourtant corrigé en classe, mais je n'ai pas bien saisi la correction.

Soit

3$ A=\(110\\021\\003\) (matrice carrée)

Calculer A^n pour n = 10000

On a utilisé la méthode par récurrence. j'aimerais savoir s'il existe des méthodes plus simples.

Merci beaucoup pour vos explications.

Posté par
Eric1
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 09:23

Il ne faut pas la transormer en une matrice diagonale, d'abord, puis la mettre à la puissance n.

Posté par
TheMax
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 09:24

euhhh c'est à dire? je ne comprends pas.

Posté par
Eric1
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 09:28

Je n'ai pas cherché à calculer mais si tu peux transformer ta matrice en une matrice diagonale, ou un produit de matrices diagonales:
a00
0b0
00c


Alors la matrice An=

an 0 0
0 bn 0
0 0 cn

Mais je ne suis pas sur que c'est plus simple.
Reprends la methode vue en cours, montre moi ce que tu ne comprends pas...

Posté par
TheMax
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 09:30

ok, eh bien je noterai toute la méthode (qui est assez longue) un peu plus tard, je dois aller en cours.

Merci en tout cas de me donner un peutit coup de main.

bonne journée.

Posté par
raymond Correcteur
Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 09:43

Bonjour.

Connais-tu le polynôme caractéristique et le théorème de Cayley Hamilton ?

A plus RR.

Posté par
geo3
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 12:00

Bonjour
même par récurrence je voudrais bien la voir car avec A = [ 1,1,0 ; 0,2,1 ; 0,0,3 ] qui est donnée ligne par ligne on a
A² = [ 1,3,1 ; 0,2²,5 ; 0,0,3² ]
A³ = [ 1,7,2.3 ; 0,2³,19 ; 0,0,3³ ]
A^4 = [ 1,3.5,5² ; 0,2^4,5.13 ; 0,0,3^4 ]
A^5 = [ 1,31,2.45 ; 0,2^5,211 ; 0,0,3^5 ]
A^6 = [ 1,63,7.43 ; 0,2^6,2.133 ; 0,0,3^6 ]
*
Par Cayley-Hamilton on a de proche en proche les puissances successives de A en fonction de A² et A
A³  =  6.A²  - 11.A  +  6
A^4 = 25.A²  - 60.A  + 36
A^5 = 90.A²  -239.A  +150
A^6 =301.A²  -840.A  +540
mais alors pour A^(10000) bonne chance
en espérant que A = bien [ 1,1,0 ; 0,2,1 ; 0,0,3 ] et qu'il n'y a pas d'erreur dans ce A sinon j'ai fait cela pour rien .

A+

Posté par
lafol Moderateur
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 12:31

Bonjour à tous.
Pas besoin de diagonalisation ici: A = diag(1;2;3) + J, où J est une matrice qui ne contient que des 0 sauf sur la diagonale au dessus de la diagonale principale.
On calcule J², on observe qu'elle ne contient que des 0 sauf un 1 tout en haut à droite. et à partir de J^3, toutes les J^n sont nulles.
(c'est général avec les matrices qui ne contiennent qu'une ligne oblique de 1 au dessus de la diagonale principale :
quand on les élève au carré, la ligne de 1 "glisse" vers le haut à droite, et encore un peu au cube, ... jusqu'à quitter la matrice.)

De plus, J commute avec D = diag (1;2;3), donc on peut utiliser le développement du binôme de Newton, la somme ne contenant que les termes pour k=0, 1 et 2 puisqu'à partir de 3 J^n=[0]. On obtient ainsi une formule générale.

Sinon, sans le binôme de Newton, on peut y aller de proche en proche (récurrence) en gardant en tête A=D+J :
A² = (D+J)(D+J) = D² + DJ+JD + J² : la diagonale principale est donnée par D², la diagonale supérieure par DJ+JD=2DJ, et le terme en haut à droite par J²
Et la récurrence va être du type A^n=D^n+a_n DJ + b_nJ².

Posté par
lafol Moderateur
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 12:32

Pour geo3 : pour voir ta récurrence, écris tes matrices en décomposant en somme de trois matrices : une diagonale, une avec le terme du coin en haut à droite, et une dernière avec les deux termes restants.

Posté par
raymond Correcteur
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 12:45

Bonjour.

¤ lafol : dans ta décomposition A = D + J, D et J ne commutent pas.

Mon idée est la suivante.
Considérons P(X) = (X - 1)(X - 2)(X - 3). D'après le théorème de Cayley Hamilton, P(A) = 0.
Cela étant, divisons Xn par P(X) :

3$\textrm X^n = P(X).Q(X) + a_n.X^2 + b_n.X + c_n (I)

On remplace successivement X par 1,2,3. Cela donne un système :

3$\textrm\{{a_n + b_n + c_n = 1\\4a_n + 2b_n + c_n = 2^n\\9a_n + 3b_n + c_n = 3^n

Ceci permet de trouver an, bn, cn.

Enfin, en remplaçant X par A dans (I) :

3$\textrm A^n = a_n.A^2 + b_n.A + c_n.I_3.

Cordialement RR.

Posté par
lafol Moderateur
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 13:06

Exact ! JD = DJ + J...

Posté par
lafol Moderateur
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 13:22

Toujours à la recherche d'une solution "élémentaire" (au cas où notre ami TheMax n'aurait pas Cayley Hamilton en magasin)
On calcule comme l'a fait geo3 les premières puissances.
On conjecture A^n=\left[ \array{1&a_n&b_n\\0&2^n&c_n\\0&0&3^n}\right].
La récurrence prouve que c'est OK, avec a_{n+1}=2a_n+1, b_{n+1}=a_n+3b_n et c_{n+1}=2^n+3c_n.
La première suite est arithméticogéométrique n sait faire
La deuxième s'étudie grâce à u_n=a_n+b_n qui vérifie u_{n+1}=3u_n+1 : encore une arithméticogéométrique.
La dernière... je vais manger, et j'y réfléchis !

Posté par
geo3
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 14:45

rebonjour

Considérons P(X) = (X - 1)(X - 2)(X - 3). D'après le théorème de Cayley Hamilton, P(A) = 0. P(X) est le polynôme caractéristique et P(A) = 0  jusque là OK

Cela étant, divisons Xn par P(X) :
Xn = P(X).Q(X) +  an.X² + bn.X + cn

là il y a quelque chose qui m'échappe ( malgré 1 certain polynôme annulateur)

solutions du système
an + bn + cn = 1
4an + 2bn + cn = 2n
9an + 3bn + cn = 3n
=>
an = 3n/2 - 2n + 1/2
bn = -3n+1/2 + 2n+2 - 5/2
cn = 3n - 3.2n + 3
*
vérifions pour n=6
a6 = 36/2 - 26 + 1/2
b6 = -36+1/2 + 26+2 - 5/2
c6 = 36 - 3.26 + 3
=>
a6 = 729/2 - 64 + 1/2 = 365 - 64 = 301
bn = -2187/2 + 256 - 5/2 =  -1096 + 256 = - 840
cn = 729 - 192 + 3 = 540
OK

Posté par
lafol Moderateur
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 15:06

me revoilà ! Pour c_n, on a les premiers :
c_1 =1=3-2, c_2 = 5 = 3^2 - 2^2, c_3 = 19 = 27-8 = 3^3 -2^3.
Conjecture : c_n = 3^n - 2^n.
C'est immédiat par récurrence à partir de c_{n+1}=2^n+3c_n

Posté par
raymond Correcteur
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 15:30

Bonjour geo3

C'est : Xn = P(X).Q(X) + an.X² + bn.X + cn qui te pose problème ?
Il faut te souvenir du reste dans la division euclidienne dont le degré est strictement inférieur à celui du quotient.

A plus RR.

Posté par
raymond Correcteur
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 16:10

Je trouve par la méthode du pivot :

3$\textrm\{{a_n = \frac{1}{2}(3^n + 1) - 2^n\\b_n = 4.2^n - 1 - \frac{3}{2}(3^n + 1)\\c_n = 3^n - 3.2^n + 3

Ensuite on écrit que :

3$\textrm A^n = a_n.A^2 + b_n.A + c_n.I_3

Je trouve finalement :

3$\textrm A^n = \begin{pmatrix}1&2^{n}-1&\frac{3^{n}+1}{2}-2^n\\0&2^n&3^{n}-2^n\\0&0&3^n\end{pmatrix}.

A plus RR.

Posté par
geo3
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 18:55

Rebonjour
merci raymond
oui je savais que le degré du reste < le degré du quotient mais le théorème de Cayley- Hamilton je ne connaisais pas de même que la méthode du pivot pour chercher les an ,bn, cn  mais je  vais approfondir .

Heureuseument les  solutions  de ton 1er système et celles que tu as trouvés par la méthode pivot sont les mêmes
encore merci
A+

Posté par
H_aldnoer
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 21:51

Bonsoir,

le polynome caractéristique est Pcar,A(X)=det(A-XI)=(1-X)(2-X)(3-X). Comme le polynome caractéristique est scindé à racine simple la matrice A est diagonalisable. Les valeurs propres sont les racines de ce polynomes soit =1,2,3;
ensuite on cherche les sous espaces propres correspondant E=Ker(A-I).

Pour =1, on cherche E1=Ker(A-I).
Pour =2, on cherche E2=Ker(A-2I).
Pour =3, on cherche E2=Ker(A-3I).

Pour chacun de ces sous espaces propres on connait la dimension qui égale à l'ordre de multiplicité des valeurs propres : ici toutes les valeurs propres sont d'ordre 1 donc les sous espaces propres sont de dimension 1 (et ceux dans le cas ou A est diagonalisable).

Posté par
H_aldnoer
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 21:55

On trouve donc trois vecteurs engendrant les sous espaces propres :
E1=Vect(v1)
E2=Vect(v2)
E3=Vect(v3)

La famille (v1,v2,v3) forme une base de R^3 : c'est une base de vecteur propre dans laquelle la matrice A est sous forme diagonale.
Si on appelle P la matrice de passe de la base canonique à la base B'=(v1,v2,v3), alors on a la relation :
A=PDP-1

On calcule alors An=(PDP-1)n=PDnP-1.

Posté par
geo3
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 22:28

Bonsoir
Pour moi beaucoup de tout cela n'est que souvenirs mais je crois avoir tout compris sauf le D de la dernière ligne dans
A=PDP-1

On calcule alors An =(PDP-1)n=PDnP-1.
A+

Posté par
H_aldnoer
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 22:35

Alors D est la matrice diagonale.
E1=Vect(v1) donc v1E1 d'ou f(v1)=v1 (si l'on note A la matrice associé à l'endomorphisme f)

De même f(v2)=2v2 et f(v3)=3v3; Finalement dans la base (v1,v2,v3), la matrice est :
D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}

Si l'on effectue le produit PDP-1, on retombe bien sur A.

Enfin l'égalité An=(PDP-1)n=PDnP-1 se montre par récurrence.

Pour n=2, cela se voit très bien :
(PDP-1)2=(PDP-1)(PDP-1)=PDP-1PDP-1=PDIDP-1=PD2P-1

etc

Posté par
geo3
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 22:42

OK
Eh bien oui je devais le savoir
Je vais approfondir tout cela demain pour me replonger dans mes souvenirs
Ca fait du bien de temps en temps.
En tout cas merci
A+

Posté par
H_aldnoer
re : Les matrices à la puissance n 11-12-06 à 22:51

pas de quoi.
bonne soirée.

Posté par
seb1122
eclaircicement 13-11-08 à 23:49

H_aldnoer stp, pourquoi (PDP-1)^n=PD^nP-1 ?
Je vois pas d'où tu passes de l'un à l'autre et j'en ai besoin.

Posté par
seb1122
re : Les matrices à la puissance n 13-11-08 à 23:53

non c'est bon merci, j'avais juste des petites difficultés sur la récurrence; C'est bizarre car j'ai cherché cette propriété très longtemps sans jamais la trouver, or elle est très utile dans ce cas particulier où pour calculer A^n, il suffit de diagonaliser la matrice

Posté par
bigbos
re : Les matrices à la puissance n 09-04-10 à 04:01

pour themax tu peu decomposer ton matrice sous la forme AI+B avec A matrice neutre par exemple puis appliquer la puissance a cette tu peu utiliser le binome de newton

Posté par
lafol Moderateur
re : Les matrices à la puissance n 09-04-10 à 09:02

bigbos, ça fait 3 ans et demi que Themax s'est posé cette question, on peut espérer qu'il a eu le temps de lire toutes les réponses apportées depuis ...

et le coup de Newton, si tu avais tout lu, tu aurais vu que je l'avais évoqué avant de réaliser grâce à Raymond que les matrices concernées ne commutant pas, c'était mort pour la formule du binôme !

Posté par
lafol Moderateur
re : Les matrices à la puissance n 09-04-10 à 09:03

mais je vois que tu es nouveau : bienvenue sur l'île !
tu verras, quand on s'est habitués aux autochtones (qu'on appelle des mathîliens) et à leurs manières parfois bourrues (ça c'est pour ma pomme) elle est très agréable

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