bonjour

nombre de bouquets de phalaenopsis et de cambria : 9 possibilités
14 114
30 101
46 88
62 75
78 62
94 49
110 36
126 23
142 10

Merci pour l'énigme,

Philoux

Bonjour,

4 possibilités :

46 phalaenopsis et 88 cambria
62 phalaenopsis et 75 cambria
78 phalaenopsis et 62 cambria
94 phalaenopsis et 49 cambria

Merci pour l'énigme.

Bonsoir,

14 phalaenopsis 114 cambria
30 phalaenopsis 101 cambria
46 phalaenopsis 88 cambria
62 phalaenopsis 75 cambria
78 phalaenopsis 62 cambria
94 phalaenopsis 49 cambria
110 phalaenopsis 36 cambria
126 phalaenopsis 23 cambria
142 phalaenopsis 10 cambria

et merci pour l'énigme.

Bonjour.
Je pense qu'il y a 9 solutions :
14 phalaenopsis et 114 cambria
30                 101
46                  88
62                  75
78                  62
94                  49
110                  36
126                  23
142                  10
A+

Les 9 solutions sont les suivantes (nb de phalaenopsis,nb de cambria) :
(10, 142)
(23, 126)
(36, 110)
(49, 94)
(62, 78)
(75, 62)
(88, 46)
(101, 30)
(114, 14)

Les prix unitaires sont respectivement de 16 euros et 13 euros.

edit T_P : tu as indiqué (nb de cambria, nb de phalaenopsis) contrairement à ce que tu as écris

On résout le système ; E1:  80 p + 60 c = 2000   avec E2 : 60 p + 77 c = 2012  pour obtenir p = 13 et c = 16‎
‎ p étant le prix de phal. Et c est le prix de cam.  ‎
Soit (x;y) le couple des orchidées achetées par le dernier fleuriste.‎
On a :  E0 :  13x + 16y = 2006‎
Or En ajoutant membre a membre E1 et E2 , puis en divisant par 2 On a :
E3 : 70 x 13 + 137 x 8 = 2006 ‎
Mais E0 s'écrit :  13 x  + 8 (2y) = 2006 ‎
E0 - E3 donne : 13(70 - x ) = 8(2y - 137)‎
‎13 est premier avec 8, et divise 13(70 - x) , il divise 2y - 137.
Par suite 2y = 137 + 13k avec k entier .‎
D'où impossible de trouver un entier y = 137/2 +13k/2‎ et la solution est vide.

Bonsoir !

Le troisième fleuriste peut acheter

    142 phalaenopsis et 10 cambria
ou  126 phalaenopsis et 23 cambria
ou  110 phalaenopsis et 36 cambria
ou   94 phalaenopsis et 49 cambria
ou   78 phalaenopsis et 62 cambria
ou   62 phalaenopsis et 75 cambria
ou   46 phalaenopsis et 88 cambria
ou   30 phalaenopsis et 101 cambria
ou   14 phalaenopsis et 114 cambria.

Au plaisir.

Bonsoir,

^{Tout d'abord il faut éviter le petit piège suivant:
En enlevant 20 phalaenopsis et ajoutant 17 cambria le total augmente de 12, donc il faudrait enlever seulement 10 phalaenopsis et ajouter 8,5 cambria donc la solution serait impossible...
Ce raisonnement ne prouve qu'une seule chose qu'il n'y a pas de solution basée sur 70 phalaenopsis ! (ce qui est vrai)}

On commence par résoudre le système pour trouver le prix de chaque orchidée.
Une phalaenopsis coûte 13€ et une cambria coûte 16€.
En nommant x (resp. y) le nombre de phalaenopsis (resp. de cambria), on est donc ramené à l'équation 13x+16y=2006.
Le ppcm de 13 et 16 vaut 13*16=208 (car ils sont premiers entre eux) et 2006=9*208+134.
On a donc exactement 9 solutions possibles _{et il suffit d'en trouver une seule pour pouvoir construire les 8 autres (en augmentant le nombre de phalaenopsis de 16 (i.e. augmentant la somme de 208€) et en diminuant le nombre de cambria de 13 (i.e. diminuant la somme de 208€ pour compenser))}.

En partant des 2 égalités (obtenues par division euclidienne):
(E1) 2006=13*154+4
(E2) 2006=16*125+6
et en éliminant les restes avec l'opération 3(E1)-2(E2) ("la plus petite"), on obtient :
2006=13*462-16*250
2006=13*(28*16+14)-16*(19*13+3)  (encore par division eulidienne)
2006=13*(9*16+14)-16*3           (en simplifiant avec 16*13=13*16=208)2006=13*14+16*(9*13-3)
2006=13*14+16*114

Ainsi "la plus petite" solution est composée de 14 phalaenopsis et 114 cambria.

A partir de là, on remplace à chaque fois 16 phalaenopsis contre 13 cambria (même valeur totale) jusqu'à un maximum théorique de 154 phalaenopsis.
Ce qui donne donc bien les 9 solutions annoncées :
Les solutions sous la forme (nb de phalaenopsis;nb de cambria) sont :










Merci pour l'énigme.

Bonsoir
Il y a 9 solutions
10 cambria + 142 phalaenopsis
23  "      + 126 "
36  "      + 110  "
49  "      +  94  "
62  "      +  78  "
75  "      +  62  "
88  "      +  46  "
101  "     +  30  "
114  "     +  14  "

Bonsoir
A 13€ le phalaenopsis et  à 16€ le cambria je pense que 9 couples (phala.., cambria) répondent à la question ;
(14,114); (30,101); (46,88); (62,75); (78,62); (94,49); (110,36); (126,23); (142,10)

A plus geo3

voici les couples de solutions: (sachant que les phalaenopsis coûtent 13€ et que les cambria coûtent 16€ après résolution du système):

14 phalaenopsis et 114  cambria
30 phalaenopsis et 101  cambria
46 phalaenopsis et 88  cambria
62 phalaenopsis et 75  cambria
78 phalaenopsis et 62  cambria
94 phalaenopsis et 49  cambria
110 phalaenopsis et 36  cambria
126 phalaenopsis et 23  cambria
142 phalaenopsis et 10  cambria

donc 9 possibilités d'obtenir un montant de 2006€

On trouve que les phalaenopsis valent 13 € et les cambrias 16 €.
Et voici les neuf solutions que je trouve :

142 phalaenopsis et 10 cambrias
126 phalaenopsis et 23 cambrias
110 phalaenopsis et 36 cambrias
94 phalaenopsis et 49 cambrias
78 phalaenopsis et 62 cambrias
62 phalaenopsis et 75 cambrias
46 phalaenopsis et 88 cambrias
30 phalaenopsis et 101 cambrias
14 phalaenopsis et 114 cambrias

114 et 14
101 et 30
88 et 46
75 et 62
62 et 78
49 et 94
36 et 110
23 et 126
10 et 142

je trouve que c'est impossible

Bon soir
je note P le prix d'une phalaenopsis
"    "  C "    "    "   cambria.
donc P et C sont les solutions de ce system:
80P + 60C = 2000 et 60P + 77C = 2012
je trouve P=13  et C=16
Maintenant je note p et c les nombres respectifs des phalaenopsis et des cambrias auquels correspond la somme 2006£.
n et p sont donc tout couple d'entiers naturels non nuls verifiants l'equation suivante:
13p + 16c = 2006
je trouve donc 9 couples les voila:
(p=142  et  c=10) , (p=126  et  c=23) , (p=110  et  c=36) ,
(p=94  et  c=49) , (p=78  et  c=62) , (p=62  et c=75) ,
(p=46  et  c=88) , (p=30  et  c=101) , (p=14  et  c=114)
  

salut! Je vai montrer qu'il va acheter 78 phalaenopsis et
62 cambrias.


soit p: phalaenopsis  et c: cambria

on a: 80p+60c=2000   et  60p+77c=2012=2000+12  donc

60p+77c=80p+60c+12 => -20p+17c=12

si on résoud le systeme suivant: -20p+17c=12
                                  80p+60c=2000

on trouve: p=13  et c=16 .

Soit  x le nombre de phalaenopsis et y le nombre de cambria pour le troisieme .

on a: 13x+16y=2006
or 80*13+60*16=2000
=> 80*13+60*16+6=2006 => 80*13+60*16+2*(16-13)=2006 =>
=> 80*13+60*16+2*16-2*13=2006 => (80-2)*13+(60+2)*16=2006
=> 78*13+62*16=2006
on a donc:
          13x  +  16y   = 2006
          78*13 + 62*16 = 2006

par identification: x = 78   et y = 62

Bonjour,
J'ai trouvé neuf solutions :

10 cambria,         142 phalaenopsis

23 cambria 126 phalaenopsis

36 cambria 110 phalaenopsis

49 cambria 94  phalaenopsis

62 cambria 78  phalaenopsis

75 cambria 62  phalaenopsis

88 cambria 46  phalaenopsis

101 cambria 30  phalaenopsis

114 cambria 14  phalaenopsis

Merci pour cette énigme.

alors, voilà les 9 solutions que je trouve, le premier nombre c'est la quantité de phalaenopsis et le deuxieme de cambria
14 et 114
30 et 101
46 et 88
62 et 75
78 et 62
94 et 49
100 et 36
126 et 23
142 et 10

Et Merci pur cette enigme

Je pose :
> x le prix unitaire des phalaenopsis et p leur nombre
> y le prix unitaire des cambria et c leur nombre

On a alors :
> 80 x + 60 y = 2000
> 60 x + 77 y = 2012
soit :
> x = 13
> y = 16

il faut ensuite 13 p + 16 c = 2006
donc c = (2006-13p) / 16

Pour que (2006-13p) soit multiple de 16, la première solution s'obtient pour p=14, alors c=114
13 et 16 étant premiers entre eux, il faut ensuite rajouter 13*16=208 € de phalaenopsis et en enlever autant en cambria. Ce qui fait 16 phalaenopsis de plus (= 30) et 13 cambria de moins (= 101).

En continuant comme ça jusqu'au nombre mini de cambrias, on obtient les 9 solutions suivantes :

( p , c )
( 14 , 114 )
( 30 , 101 )
( 46 , 88 )
( 62 , 75 )
( 78 , 62 )
( 94 , 49 )
( 110 , 36 )
( 126 , 23 )
( 142 , 10 )

solution :

phalaenopsis :14 ,30 ,46,62,78,94, 110,126, 142
               et  et et et et et  et  et   et
cambria      :114,101,88,75,62,49, 36 , 23 , 10

Bonjour,
Tout d'abord, il faut trouver le prix des deux orchidées.
On a un système :
{80p+60c=2000
{60p+77c=2012
On le résouds en exprimant une inconnue en fonction de l'autre, et en remplaçant dans l'autre équation.
On a donc c= 16 euros
          p= 13 euros
Après on note x le nombre de cambrias achetés, et y le nombre de phalaenopsis achetés.
On sait que 16x+13y=2006 <-> x=(2006-13y)/16
On suppose y et on trouve x qui doit être entier !!!
Avec excel, on trouve y=14, x=114
et à chaque fois dans cet ordre (y,x)
30;101
46;88
62;75
78;62
94;49
110;36
126;23
142;10
Voilà
Soizic

Bonjour,


je pose comme hypothèse de départ :

x = phalanopsis
y = cambria


après avoir trouvé la valeur de chacune des variables, j'obtiens

x = 13
y = 16


Si le dernier fleuriste veut acheter pour 2006€ d'orchidées, il y a le choix entre 9 solutions :

(phalanopsis,cambria)

(12,116)
(28,103)
(44,90)
(60,77)
(76,64)
(92,51)
(108,38)
(124,25)
(140,12)


Merci pour cette énigme

voila, idefix a encore bien fait son boulot, enfin normalement ....
merci pour l'enigme

En résolvant le sytème de deux équations à deux inconnus suivants :
80x+60y=2000
60x+77y=2012
avec x le prix d'une phalaenopsis et y le prix d'un cambria.
x = 13 et y= 16
Ensuite il suffit de trouver tous les couples d'entier m et p (car on ne peut pas couper les orchidées en deux en trois) tel que 13m+16p=2006
Là j'ai utlisé un programme informatique.( en python)

Les couples (nombre de phalaenopsis , nombre de cambrias) possibles pour un achat 2006 € sont :
(14, 114), (30, 101), (46, 88), (62, 75), (78, 62), (94, 49), (110, 36), (126, 23), (142, 10)
En tout 9 couples.

voila, j'ai trouvé plusieurs solutions. Je les donne sous forme de couple du type (phalaenopsis,cambria)
(14,114);(30,101);(46,88);(63,74);(78,62);(94,49);(110,36);(126,23);(142,10)
le prix des phalaenopsis est de 13€ et celui des cambrias est de 16€
biz

Bonjour,

Je trouve que le dernier fleuriste pourra effectivement acheter pour exactement 2006 € d'orchidées, et même qu'il aura l'embarras du choix quand à la composition.

Les lignes suivantes présentent les 9 combinaisons possibles pour atteindre une somme de 2006 € avec nombre de phalaenopsis (p) suivi du nombre de cambria (c) :

14 p et 114 c
30 p et 101 c
46 p et 88 c
62 p et 75 c
78 p et 62 c
94 p et 49 c
110 p et 36 c
126 p et 23 c
142 p et 10 c


Pour arriver à ce résultat, on pose un système de deux équations à deux inconnues avec les achats des deux premiers fleuriste. Sa résolution nous apprend que le prix unitaire des phalaenopsis est de 13 € tandis que celui des  cambria est de 16 €. Il ne reste plus qu'à trouver les combinaisons de nombres entiers positifs de l'une et l'autre des espèces dont l'addition totale donne 2006 €.

Merci pour l'énigme

Bonjour,

A partir des achats des deux premiers fleuristes,
on en déduit le prix de chaque orchidée :

Phalaenopsis 13 €
Cambria 16 €

On recherche ensuite les couples de quantités d'orchidées
tel que le prix total payé par le troisième fleuriste soit égal à 2006 € :

Je trouve 9 solutions récapitulées dans le tableau ci-joint

A bientôt, KiKo21.

Il y a 9 solutions .

14 phalaenopsis et 114 cambria ;
30 phalaenopsis et 101 cambria ;
46 phalaenopsis et 88 cambria ;
62 phalaenopsis et 75 cambria ;
78 phalaenopsis et 62 cambria ;
94 phalaenopsis et 49 cambria ;
110 phalaenopsis et 36 cambria ;
126 phalaenopsis et 23 cambria ;
142 phalaenopsis et 10 cambria ;

je propose 11 solutions :
14,114
30,101
46,88
62,75
78,62
94,49
110,36
126,23
142,10

edit T_P : où sont les 2 autres ?

C'est possible et les réponses sont:
OU 75 cambria et 62 phalaenopsis;
OU 62 cambria et 78 phalaenopsis.

Etant donné mon niveau de 3ème, je ne sais pas si il existe d'autres possibilités sans utiliser des formules de niveaux suprieurs au mien. Merci de votre compréhension .

PS: est-il donc posible que si il existe d'autres possibilité j'ai au moins (meme si je ne l'ai pas affiché)1 point pour le raisonnement que j'ai fait pour trouver ces deux possibilités.Cependant si la réponse est juste, alors j'accepterais les 2 points!!!!LOL!!!!

Salut

Le fleuriste a 9 possibilités
10 cambria  et 142  phalaenopsis
23 cambria et 126  phalaenopsis
36 cambria et 110 phalaenopsis
49 cambria et 94  phalaenopsis
62 cambria et  78   phalaenopsis
75  cambria et 62  phalaenopsis
88  cambria et  46  phalaenopsis
101 cambria et 30  phalaenopsis
114 cambria et 14  phalaenopsis

Il faut d'abord trouver le prix des phalaenopsis et des cambrias.

2 équations, 2 inconnues
80X+60Y-2000=0
60X+77Y-2012=0

Les phalaenopsis sont à 13Eur, alors que les cambrias sont à 16 Eur.

Il faut ensuite trouver les combinaisons possibles de:
13X'+16Y'=2006

9 solutions:
Phalaenopsis Cambrias
14           114
30           101
46           88
62           75
78           62
94           49
110          36
126          23
142          10

Cordialement
Cutefrog95

c'est impossible, on n'obtient jamais un nombre entier de fleurs.

Bonjour,

Je propose les 9 solutions suivantes :

14 phalaenopsis et 114 cambria
30 phalaenopsis et 101 cambria
46 phalaenopsis et 88 cambria
62 phalaenopsis et 75 cambria
78 phalaenopsis et 62 cambria
94 phalaenopsis et 49 cambria
110 phalaenopsis et 36 cambria
126 phalaenopsis et 23 cambria
142 phalaenopsis et 10 cambria

Merci pour cette énigme fleurie.

Bonjour

--------------

Traduisons au préalable l'énoncé sous la forme d'un système d'équations à deux inconnues :

Le premier achète 80 phalaenopsis et 60 cambria pour 2000 €.
Le second achète 60 phalaenopsis et 77 cambria pour 2012 €.


On note a le prix d'un phalaenopsis et b celui d'une cambria :



On obtient le couple de solution :



Puis on désigne par x le nombre de phalaenopsis et y le nombre de cambria que l'on peut acheter pour 2006 euros.

Ce qui revient à résoudre l'équation diophiantienne suivante :



Sachant que x et y sont des nombres entiers et positifs, séparons l'inconnue dont le coefficient est plus petit, c'est à dire x ; nous obtenons :



Puisque x, 154 et y sont des nombres entiers, l'égalité sera juste à condition que soit également un nombre entier.
Désignons-le par t. On a alors :

et

Tirons y de la dernière équation :



Puisque y et t sont des nombres entiers, doit également être un nombre entier, notons-le . Par suite :

et

d'où :

et

Introduisons la valeur dans les égalités précédentes, pour ainsi trouver pour x et y les expressions :



Les nombres x et y sont comme nous le savons, des nombres entiers et positifs, c'est à dire plus grand que 0. Par suite :



De ces inégalités nous tirons :



On fait donc varier de 1 à 9.

On en conclue qu'il existe possibilités d'achats satisfaisant les conditions de l'énoncé, soit 9 couples (x;y) avec x le nombre de phalaenopsis et y celui de cambria, qui sont :



Merci pour l'énigme

Kévin

Bonjour à tous,

L'énoncé du problème permet de calculer le prix à la pièce de chacune des deux espèces d'orchidée, soit,
13 € pour la phalaenopsis et 16 € pour la cambria.

Sur base de ces prix unitaires et d'un investissement de 2006 €, le troisième fleuriste devrait avoir 8 possibilités d'achat.

En cette période de carnaval où le mimosa a la cote, il lui appartient de faire un choix judicieux entre:

        Phalaenopsis       Cambria

             14        et      114

             30        et      101

             46        et       88

             62        et       75

             78        et       62

             94        et       49

            126        et      23

            142        et      10.

Quel que soit son choix, il ne paiera jamais que 2006 €.

Belle énigme.

atomium.

            

          

        

          

Je trouve 9 couples solution.

chaque phalaenopsis (p) coûte 13 euros et chaque cambria (c) 16 euros.

Les couples sous la forme (p ; c) répondant au problème sont :

(14 ; 114)
(30 ; 101)
(46 ; 88)
(62 ; 75)
(78 ; 62)
(94 ; 49)
(110 ; 36)
(126 ; 23)
(142 ; 10)

Bonjour,
C'est impossible, j'ai fait un tableau excel.
Mathématiquement je ne sais pas l'expliquer, j'attends de voir les corrections des pros !!

Lilouf

Rebonjour,
Je suis allée un peu trop vite, en fait c'est possible :
1 phalaenopsis coûte 13 € et 1 cambria coûte 16 €.
142 p + 10 c
126 p + 23 c
110 p + 36 c
94 p + 49 c
78 p + 62 c
62 p + 75 c
46 p + 88 c
30 p + 101 c
14 p + 114 c

Lilouf.

plusieurs solutions:

-phalaenopsis:142
cambria:10

-phalaenopsis:126
cambria:23

-phalaenopsis:110
cambria:36

-phalaenopsis:94
cambria:49

-phalaenopsis:78
cambria:62

-phalaenopsis:62
cambria:75

-phalaenopsis:46
cambria:88

-phalaenopsis:30
cambria:101

-phalaenopsis:14
cambria:114

Salut !

je trouve plusieurs solutions possibles pour un total de 2006€, listées dans le tableau ci-dessous:

Phalaenopsis Cambria
142                  10
126                  23
110                  36
94                    49
78                    62
62                    75
46                    88
30                    101
14                    114
  
(Le prix des Phalaenopsis est de 13€, celui des Cambria de 16€)

A++

Bonjour,

Ce petit système d'équations à deux inconnues nous donne:
1 phalaenopsis vaut 13 euros, 1 cambria vaut 16 euros.

Pour 2006 euros, le dernier fleuriste pourra acheter, au choix:
10 cambria et 142 phalaenopsis,
23 cambria et 126 phalaenopsis,
36 cambria et 110 phalaenopsis,
49 cambria et 94 phalaenopsis,
62 cambria et 78 phalaenopsis,
75 cambria et 62 phalaenopsis,
88 cambria et 46 phalaenopsis,
101 cambria et 30 phalaenopsis,
ou 114 cambria et 14 phalaenopsis.

A+,
gloubi

4 solutions
phalaenopsis cambria
14            114
30            101
46            88
62            75

Bonjour,

J'ai eu peur au debut, ca ressemblait a un exercice de Brevet sur les systemes d'equations.

Sans prendre le temps de verifier les calculs.

Je trouve 16 euros le phalaenopsis et 13 euros le cambria.

Donc on doit avoir 16p + 13c = 2006 avec p le nb de phalaenopsis et c le nb de cambria.

Avec les congruences je trouve que p est congru a 10 modulo 13.

Cela me donne 9 solutions sous forme de couples (p;c)

(10;142) (23;126) (36;110) (49;94) (62;78) (75;62) (88;46) (101;30) (114;14)

Sauf erreur de recopie.


minkus

salut,

j'obtiens pour équation
13x+16y=2006

ce qui me donne les couples (phalaenopsis, cambria)
(14, 114)
(30, 101)
(46, 88)
(62, 75)
(78, 62)
(94, 49)
(110, 36)
(126, 23)
(142, 10)

Merci
Ptitjean

Voilà j'essaye de résoudre l'énigme
D'abord , j'essaye de trouver le prix de chaque espèce en résolvant le système suivant :

avec  x : le prix des phalaenopsis
et   y : le prix des cambria
Je trouve : x = 13 et y = 16
Maintenant , je pose a = le nombre de phalaenopsis
                  et b = le nombre de cambria
Donc , il faut résoudre dans N l'équation suivante :  13 a + 16 b = 2006
alors les couple sont : ( a , b = )
et puisque a et b sont des éléments de N et à l'aide de l'Excel , je trouve ses solution :






avec : a = le nombre de phalaenopsiset b = le nombre de cambria

Couples possibles:
cambria       phalaenopsis
10           142
23           126
36           110
49           94
62           78
75           62
88           46
101           30
114           14

bonjour,

les nombres respectifs de phalaenopsis et de cambria que  le troisieme fleuriste va acheter sont:


phalaenopsis  cambria

    14          114
    30          101
    46           88
    62           75
    78           62
    94           49
   110           36
   126           23
   142           10


les prix unitaires sont respectivement de 13 et 16 € pour chacune de ces tres joies fleures

voila merci pour cette enigme

salutations

Paulo