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Liberté d'une famille, polynôme
Bonjour à tous !
J'ai ce petit exercice à faire, mais je n'y parviens pas pour l'instant :
On considère k entier, et la fonction : t -> exp(ikt) du
-espace vectoriel des fonctions continues sur (0,2pi) à valeurs dans
.
1) Soit n entier naturel non nul. En remarquant que l'étude de la liberté de la famille pour k appartenant à l'intervalle d'entier (0,n) revient à dénombrer les racines d'un ploynôme que l'on précisera, montrer que cette famille est libre.
Je vous remercie d'avance pour votre aide !
Merci !
Donc maintenant j'ai le polynôme mais je ne vois pas comment m'en servir ^^.
Il me semble que pour montrer la liberté de la famille, il faut montrer que la combinaison linéaire nulle que l'on a écrite n'est possible que si tous les scalaires sont nuls. Comment utiliser P dans cette optique ?
A oui bien sur !
Et comme c'est la polynôme nul, tous ses coefficients sont nuls donc lambda1 = lambda 2 = ... = lambda n = 0 d'où la liberté de la famille.
Après dans une autre question, on me demande de calculer l'intégrale de 0 à 2pi de :
exp(ikt) dt
et de conclure une deuxième fois à la liberté de la famille (la même qu'à la question 1).
J'ai calculé l'intégrale, je trouve 0. Est-ce normal ? Comment puis-je conclure sur la liberté de la famille ?
Merci !
L'intégrale vaut 0 sauf pour k=0. Donc tu intègres la combinaison linéaire et tu en déduis que puis tu simplifies par
et... tu recommences.
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