salut

Salut,

Que viens faire l'injectivité là dedans ? Tu te mélanges visiblement..
Il faut montrer l'équivalence entre "f est surjective" et "g est surjective" d'après ce que tu nous dis, à moins que tu ne te sois trompé ?

Et pour répondre à la question de la fin de ton post : non, tu es obligé d'appliquer f a un élément, tu ne peux pas le faire à une partie (même si cette partie est un singleton).

Oui pardon, comme je dois montrer les deux j'ai mélanger ! On va faire avec l'injectivité.

Alors si je n'ai pas le droit de l'appliquer à un sous ensemble, comment je peux procéder ?

Voici ce qui est à "lire autrement" :

Je dois montrer que si l'une des application est surjective, alors l'autre est surjective.

Je dois montrer que si l'une des application est injective, alors l'autre est injective.

Donc tu as f(Y)=f(Z). Ce sont des ensembles, sommes-nous d'accord ?
Ainsi, pour tout y dans f(Y), y est dans f(Z) et réciproquement.

Tu dois alors montrer que Y=Z. Comment montrer une égalité entre ensemble ?

Oui je suis d'accord, mais donc j'ai le droit d'écrire f(Y), par contre  je peux pas écrire f(Y) = g(Y) c'est ça ? Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?

sinon :
On fonctionne donc par double inclusion, je fais exactement comme tu viens de dire :
yf(Y)yf(Z)
Donc YZ
yf(Z)yf(Y)
Donc ZY
Donc Y=Z.

ok alors c'est l'injectivité ...

le sens f est injective => g est injective est quasi immédiat ...

Si tu peux écrire f(Y)=g(Y), c'est par définition de g, et c'est une égalité entre ensembles. Ce que tu ne peux pas dire directement c'est que f(Y)=f(Z) implique Y=Z par injectivité de f, du moins pas directement, car Y et Z donc des ensembles et que l'injectivité de f se traduit sur des éléments.

C'est absolument faux comme raisonnement.
Pour montrer que Y est inclus dans Z, on prend d'abord un élément dans Y et on montre qu'il est dans Z, sois un peu rigoureux là dessus. C'est toujours la même chose.

Soit donc x dans Y. Montre que x est dans Z.

Oui enfin je vois pourquoi ça l'est, mais je bloque au niveau du raisonnement sur le fait que je ne sais pas trop si je peux appliquer f sur un sous ensemble ou pas...

"car Y et Z sont des ensembles*" mea culpa.

Ah je vois, d'accord j'ai compris pour l'application finalement

Tu ne peux pas appliquer f sur un sous-ensemble.
La notation f(X) pour X une partie de l'ensemble de départ, désigne l'ensemble des images des éléments de X par f ! Ce n'est donc en rien l'image d'un élément.

Sinon est-ce que c'est mieux ?

Soit xY
Il existe un yf(Y) tel que f(x)=y
Donc xZ
Donc YZ
Réciproquement, jouant un rôle symétrique ZY

Donc Y=Z

AH c'est parfaitement clair ! Merci ! Et pour savoir, Carpediem quand tu disais que c'était quasi immédiat, est-ce que tu parlais d'une méthode autre que celle que j'essaie de corriger ?

"Soit x dans Y
Il existe un y dans f(Y) tel que f(x)=y
Donc x est dans Z "

Oulah, tu vas trop vite ! Pourquoi ça ? Rien ne dit ici que x est dans Z !

C'est quasi-immédiat pour carpediem et pour des personnes qui ont déjà fait tout ça. Mais il ne faut pas que tu brûles les étapes, et une démonstration rigoureuse vaut toujours mieux qu'un "c'est évident".

Hmmm....

Alors là je sais plus... Peut être :

Soit x dans Y
Il existe un y dans f(Y) tel que f(x)=y
Or y est dans f(Z), donc f(x) est dans f(Z), donc x est dans Z ?

C'est une bonne piste.
Cependant, tu ne peux pas dire que si f(x) est dans f(Z), que x est dans Z.
En effet, tu peux juste affirmer qu'il existe un autre élément, appelons x', qui lui est dans Z, et est tel que f(x')=f(x).
En effet, f(x) pourrait très bien avoir beaucoup d'antécédents, dans Z ou non. Mais ici ce n'est pas le cas grâce à l'hypothèse faite sur f, qui nous sauve pour ce coup-ci.

"alors x est dans Z"

f est injective  : x <> y => f(x) <> f(y)

soit X et Y deux parties de E distinctes

quitte à permuter X et Y il existe x dans X qui n'est pas dans Y

donc f(x) est dans f(X) = g(X) et f(x) n'est pas dans f(Y) = g(Y) (cer f est injective)

donc g(X) <> g(Y) et g est injective ...

Je comprend pas les symboles "<>" de carpediem. Cela dit, merci, avoir deux méthode c'est toujours bon pour approfondir le raisonnement.

Maintenant je bloque totalement depuis une demi heure sur la réciproque...

Je pensais partir de là :

Soient x et x' dans E tels que :
f(x)=f(x')

Soit y dans F tel que {y}=g({x}) (enfin ici ça m'avance à rien, mais je pense qu'il faut que j'utilise les singletons pour parvenir à bout de la démo...)

<> : réfléchis un peu : ma première ligne rappelle la définition du'ne fonction injective ...

la réciproque est élémentaire

supposons g injective : donc pour tout X et Y parties de E

X <> Y => g(X) <> g(Y)

il suffit de prendre X = {x} et Y = {y}

...

Je pensais que c'était équivalent au signe égal, mais quel est la différence avec le signe égal ?

D'accord je vais essayer comme cela

si je possède le symbole = est-ce que je vais m'em... à utiliser autre chose ...

revois la définition d'une fonction injective

Ah d'accord, j'avais pas compris, c'est bête on lit vite parfois. C'était tout simplement différent de.

Alors, j'ai essayé, et à la suite de ce qui tu as mis un peu plus haut, j'ai :

f(x) est dans f({x}) mais pas dans f({y}), donc f(x)<>f(y)
Donc f injective.

Qu'en pensez vous ?

Et si jamais je voulais faire une méthode similaire à celle que j'ai développé avec Flewer, est-ce que cela fonctionne :

Soit x et x' dans E tels que f(x)=f(x'),
On a f(x) dans f({x})=g({x}), g étant injective, f(x) est l'unique élément de g({x})
De même avec f(x').
Donc g({x})=g({x'}) et g étant injective, x=x'
Donc f injective

oui ça semble équivalent ...

mais

1/ éviter ces "on a" qui sont laid et alourdissent inutilement le texte ...

2/

D'accord donc en corrigeant :

Soit x et x' dans E tels que f(x)=f(x'),
Or, g({x})={f(x)}, donc f(x) est l'unique élément de g({x})
De même avec f(x').
Donc g({x})=g({x'}) et g étant injective, x=x'
Donc f injective