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limite de fonction

Posté par Profil etudiantilois 07-12-16 à 20:20

Bonsoir,

J'ai un exercice que je n'arrive pas à faire... Voici ce que j'ai fait, mais je n'ai pas du tout d'idée pour la question 1...

Exercice :

1/ Dire si les propositions A. et B. sont vraies ou fausses en justifiant :

A. La suite (un) définie par u0=4,5 et pour tout entier naturel n u(n+1)=4(un)²-5(un)+17 est divergente.

B. La suite de terme général (avec n entier naturel) 20n²-5n+4 est strictement croissante, donc f : x => 20x²-5x+4 est une fonction strictement croissante sur [0;+infini[.

C. lim   (racine carrée de (x²+4x+12)-x-2)=lim (8/(racine carrée de (x²+4x+12)+x+2)
x=>+infini                                                                x=>+infini

2/ Après avoir montré que pour tout entier k supérieur ou égal à 2 : 1/k² inférieur ou égal à 1/(k-1)-1/k, déterminer le comportement asymptotique de la suite (u(n)) définie par :
              n
u(n)=sigma 1/k² pour tout n entier naturel non nul.
             k=1

Voici ce que j'ai fait :

k²>k>k-1
donc : 1/k²<1/k<1/(k-1)
donc : 1/k²-1/k<0<1/(k-1)-1/k
Mais je n'arrive pas à aboutir à 1/k² inférieur ou égal à 1/(k-1)-1/k...
Comment faire ? Et une fois que l'on a abouti à ce résultat, comment déterminer le comportement asymptotique ?

Merci beaucoup d'avance pour votre aide.

Bonne soirée.

Posté par Profil etudiantiloisre : limite de fonction 07-12-16 à 20:38

up...

Posté par
Teusnerre : limite de fonction 07-12-16 à 20:41

Bonsoir,

Pour la Proposition A, Pourquoi ne pas étudier la fonction polynomiale  :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 4x^{2}-5x+17,
on remarquera par la suite que u_{n+1} = f(u_{n})

Posté par
Teusnerre : limite de fonction 07-12-16 à 20:49

Proposition B :

\lim\limits_ {x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^{2}+4x+12}-x-2 = \lim\limits_ {x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^{2}(\frac{4}{x}+\frac{12}{x^{2}})}-x-2 = \lim\limits_ {x \rightarrow +\infty} x*\sqrt{(\frac{4}{x}+\frac{12}{x^{2}})}-x-2= \lim\limits_ {x \rightarrow +\infty} x*(\sqrt{(\frac{4}{x}+\frac{12}{x^{2}})}-1)-2

Posté par Profil etudiantiloisre : limite de fonction 07-12-16 à 21:22

Bonsoir Teusner,

Merci beaucoup pour votre aide.

Pour la A : delta=25-4*4*17=-247.

Il n'y a donc pas de racine.

Et après qu'est-ce que l'on fait ?

Pour la B : je ne sais pas du tout comment répondre...

Pour la C : Où voulez-vous en venir avec votre calcul, je n'arrive pas à le continuer...

Et pour la question 2/, comment faire ?

Posté par Profil etudiantiloisre : limite de fonction 07-12-16 à 21:47

up...

Posté par Profil etudiantiloisre : limite de fonction 07-12-16 à 22:06

Malou, Carpediem ou quelqu'un d'autre pourrait-il m'aider ?

J'ai contrôle demain matin...

Merci beaucoup d'avance pour votre aide.

Posté par Profil etudiantiloisre : limite de fonction 07-12-16 à 22:43

up...

Carpediem ou quelqu'un d'autre ! Désolé mais j'ai vraiment besoin d'aide avant demain...

Posté par
philgr22re : limite de fonction 07-12-16 à 23:09

rebonsoir :
reduis au meme denominateur 1/(k-1)-1/k...et compare avec 1/k2
Pour la suite regarde les termes qu'il reste quand tu ajoutes jusqu'à n 1/(k-1)-1/k

Posté par Profil etudiantiloisre : limite de fonction 07-12-16 à 23:11

OK, merci beaucoup ! Je vais faire ça.

Et pour les propositions A, B et C, elles sont vraies ou fausses ? Comment démontrer ?

Merci de donner de votre temps pour m'aider.

Posté par
philgr22re : limite de fonction 07-12-16 à 23:12

suis les conseils de teusner....
Allez, je te laisse : bonne fin de soirée et bon courage!

Posté par Profil etudiantiloisre : limite de fonction 07-12-16 à 23:13

Pouvez-vous juste m'indiquer quelques pistes ? Je ne comprends ce qu'écrit teusner...

Posté par Profil etudiantiloisre : limite de fonction 07-12-16 à 23:23

up...

Posté par Profil etudiantiloisre : limite de fonction 08-12-16 à 00:00

Je n'arrive toujours pas à montrer que :

A. La suite (un) définie par u0=4,5 et pour tout entier naturel n u(n+1)=4(un)²-5(un)+17 est divergente.

Comment faire ?

Merci pour votre réponse.

Posté par
luzakre : limite de fonction 08-12-16 à 09:09

etudiantilois @ 07-12-2016 à 21:22

Bonsoir Teusner,
Merci beaucoup pour votre aide.
Pour la A : delta=25-4*4*17=-247.
Il n'y a donc pas de racine.
Et après qu'est-ce que l'on fait ?

S'il y a une limite a que peut-on dire de a ?
Regardes les limites de n\mapsto u_{n+1},\;n\mapsto 4u_n^2-5u_n+7 en supposant que la suite converge vers a\in\R ?

Posté par
PLSVUre : limite de fonction 08-12-16 à 14:18

Bonjour,
Teusner
proposition   C  attention  un oubli...
\lim\limits_ {x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^{2}+4x+12}-x-2 = \lim\limits_ {x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^{2}({\red{1}}+\frac{4}{x}+\frac{12}{x^{2}})}-x-2 = \lim\limits_ {x \rightarrow +\infty} x*\sqrt{{\red{1}}+\frac{4}{x}+\frac{12}{x^{2}}}-x-2= \lim\limits_ {x \rightarrow +\infty} x*(\sqrt{{\red{1}}+(\frac{4}{x}+\frac{12}{x^{2}})}-1)-2
ce qui tombe sur une FI
la méthode de étudiantilois   est correcte  ( expression conjuguée ...) ,
lim   (racine carrée de (x²+4x+12)-x-2)=lim (8/(racine carrée de (x²+4x+12)+x+2)
x=>+infini                                                                x=>+infini
il faut conclure
numérateur =8  ,dénominateur tend vers +∞  , le quotient tend vers 0

Citation :
B. La suite de terme général (avec n entier naturel) 20n²-5n+4 est strictement croissante, donc f : x => 20x²-5x+4 est une fonction strictement croissante sur [0;+infini[.  

  f'(x)=40x-5≤0 si 0≤x≤ 0,125
f est décroissante sur [0;0,125] proposition fausse


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