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logarithme/algorithme

Posté par
Mathxa
30-01-13 à 20:01

Bonsoir, je sollicite votre aide pour cet exercice. J'ai beaucoup de mal à y répondre et vous remercie d'avance de votre aide.

Partie A
On définit la fonction d sur [1;+[ par d(x)=ln(x)-(x-1)+((x-1)2)/2

1) Étudier les variations de la fonction d sur [1;+[ et en déduire le signe de d(x).

2) Procéder de même avec la fonction  définie sur [1;+[ par (x)=ln(x)−(x −1).

3) En déduire que, pour tout x supérieurs à 1, -((x-1)2)/2ln(x)-(x-1)0 et valeur absolue de (ln(x)-(x-1))((x-1)2)/2

4) Il en résulte que, par exemple, 0,00001 est une valeur approchée de ln1,00001. Dans cet exemple,donner un majorant de l'erreur c'est-à-dire un nombre plus grand que la valeur absolue de la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée.

Partie B
On considère l'algorithme suivant :
Entrée a (1 < a < 20)
Entrée n (entier naturel)
Dans U mettre a
Pour I de 1 à n
Dans U mettre racine carré de U
Fin de la boucle Pour
Dans V mettre U−1
Pour I de 1 à n
Dans V mettre 2V
Fin de la boucle Pour
Afficher V

1) Faire fonctionner cet algorithme « à la main » pour a = 16 et n = 4.

2) Implémenter cet algorithme sur une calculatrice (ou un tableur). Le faire fonctionner pour n = 10 avec a = 8 puis avec a = 1,234. Comparer avec lna. Qu'observe-ton ?

3) Exprimer lnU en fonction de lna. En utilisant le résultat de la question A3, en déduire que valeur absolue de (ln(a)−V)(U−1)22n-1. Ici, U désigne le contenu de la variable U à la fin de la 1re boucle et V le
contenu de V à la fin de la 2e boucle.

4) Avec n = 15 et a = 2, l'algorithme donne U−10,0000211534 à la fin de la première boucle et la
partie A prouve que valeur absolue de (ln(U)−(U−1))<3×10-10. Expliquer pourquoi la valeur de V affichée à la sortie de l'algorithme vérifie alors l'inégalité valeur absolue de (ln(2)− V)<10-5. Donner V et une valeur approchée de ln(2) donnée par une calculatrice.

5) Le nombre a, supérieur à 1, étant donné, on peut considérer que les variables U de cet algorithme sont les premiers termes d'une suite et démontrer qu'elle converge vers 1, on l'admet ici. On peut donc obtenir que U soit aussi proche de 1 que l'on souhaite.
Modifier l'algorithme en rajoutant une condition pour que 0U−110-8 et simplifier-le en évitant
d'utiliser la deuxième boucle.

Posté par
raf38
re : logarithme/algorithme 30-01-13 à 22:21

Bonjour

Qu'as tu déjà fait ?

Posté par
homeya
re : logarithme/algorithme 30-01-13 à 22:21

Bonsoir,

Pour commencer, quelle est la dérivée de d(x) ?

Cordialement.

Posté par
Lokiss
re : logarithme/algorithme 01-02-13 à 21:10

Bonjour. Je suis tombé sur le même exercie et il me faut aussi de l'aide. Si possible me corriger et me guider pour la 2e partie. Voilà où j'en suis pour l'instant:

1) d(x)=ln(x)-(x-1)+((x-1)2)/2
d'(x)=1/x-1+(1/2)(x-1)2
= 1/x-1+(1/2)21(x-1)
=1/x-1+x-1
=(1-x+x2-x)/x
=(x2-2x+1)/x
=(x-1)2/x

sens de d'(x) sur [1;+[: positif. Donc d(x) croissante sur cet intervalle.

2) (x)=ln(x)−(x −1)
'(x)=1/x-1=(1-x)/x

sens de '(x) sur [1;+[: négatif. Donc (x) décroissante.

3) -((x-1)2/2)ln(x)-(x-1)0
-((x-1)2/2)+((x-1)2/2)ln(x)-(x-1)+((x-1)2/2)((x-1)2/2)
0d(x)((x-1)2/2)

d(x)-((x-1)2/2)0
(x)0, ce qui est vrai, donc l'égalité est vraie.

|ln(x)-(x-1)|(x-1)2/2
Je bloque pour démontrer celle là. Ils ont appliqué valeur absolue car décroissante de 1 à +, ce qui est impossible pour la fonction ln(x). J'ai essayé de développer la démonstration en gardant ça en tête mais j'y arrive pas.

4) Posons x=1,00001.
|ln 1,00001-(0,00001)|(0,00001)2/2
4,99997.10-115.10-11

On fait la différence: 5.10-11-4,99997.10-11=3.10-16


Voilà où j'en suis. Je comprends rien à l'algorithme. Aidez moi ! ^^

Posté par
homeya
re : logarithme/algorithme 02-02-13 à 15:10

Je suis d'accord avec ces résultats. Pour la question 1), je préciserais, comme demandé par l'énoncé, que d(x) est positif sur [1;+[ (d'après le tableau de variations). De même, pour la question 2), on voit que (x) 0 sur [1;+[. Pour la seconde partie de la question 3), on sait que sur [1;+[, ln(x)-(x-1) 0 donc |ln(x)-(x-1)| = -[ln(x)-(x-1)] par définition de la valeur absolue. Par conséquent:
|ln(x)-(x-1)| (x-1)2/2
-[ln(x)-(x-1)] (x-1)2/2
ln(x)-(x-1) -(x-1)2/2 ce qui est vrai.
Pour la question 4), les calculs sont bons mais il faut donner un majorant donc par exemple 3,34.10-16.
En ce qui concerne la première question relative à l'algorithme, pour a = 16 et n = 4:
Entrée a (1 < a < 20)
  a = 16
Entrée n (entier naturel)
  n = 4
Dans U mettre a
  U = 16
Pour I de 1 à n
Dans U mettre racine carré de U
  U = 4 puis U = 2 puis U = 2 = 21/2 puis U = 21/4
Fin de la boucle Pour
Dans V mettre U−1
  V = 21/4 - 1
Pour I de 1 à n
Dans V mettre 2V
  V = 2(21/4 - 1) puis V = 22(21/4 - 1) puis V = 23(21/4 - 1) puis V = 24(21/4 - 1)
Fin de la boucle Pour
Afficher V
  24(21/4 - 1)
Mes résultats sont à revérifier car je ne suis pas à l'abri d'une erreur !
  

Posté par
Lokiss
re : logarithme/algorithme 03-02-13 à 16:28

Merci beaucoup de ton aide homeya ! Mais j'arrive touours pas à finir la partie B parce que je comprends carrément rien à l'algorithme, si tu pouvais m'aider pour les dernières questions ce serait vraiment sympa !

Posté par
homeya
re : logarithme/algorithme 03-02-13 à 16:40

Quelles sont les questions qui te posent problème ? Concernant l'algorithme, tu peux essayer de refaire les calculs avec a = 16 et n = 4 en t'inspirant de ce que j'ai fait (il est important de bien comprendre le fonctionnement des algorithmes car tu en rencontreras d'autres cette année).

Posté par
Lokiss
re : logarithme/algorithme 03-02-13 à 17:14

En fait j'arrive pas à implémenter l'algorithme sur ma calculatrice, j'ai un problème au niveau des boucles, je sais pas comment les noter.

Posté par
homeya
re : logarithme/algorithme 03-02-13 à 17:15

Quel est le type de la calculatrice ?

Posté par
Lokiss
re : logarithme/algorithme 03-02-13 à 17:24

TI 83 plus

Posté par
homeya
re : logarithme/algorithme 03-02-13 à 18:13

Je n'ai pas de TI83+ mais une recherche rapide sur le net donne pour une boucle POUR:
  For(I,1,n,1) : le dernier argument représente l'incrément
  (U)->U
  End

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