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Logique

Posté par
feitan
09-10-15 à 01:37

Soit x,y,z trois nombres réels strictement positifs
Montrer que : x+y+z=1 ==> (1/x)+(1/y)+(1/z)>=9

J'ai essayé d'intégrer l'inéquantion x+1/x>=2 sur le trois réels mais ça marche toujours pas

Posté par
flight
re : Logique 09-10-15 à 13:20

salut

si x,y et z sont >0 alors   x1/2  et  y+z 1/2
y1/4 et z1/4

et donc 1/x + 1/y + 1/z 2 + 4 + 4  soit 1/x + 1/y + 1/z 10

donc  forcement 1/x + 1/y + 1/z 9

Posté par
ztokayba
re : Logique 09-10-15 à 13:42

Bonjour Flight. Peux tu m'expliquer ta demarche pour avoir x≤1/2 et z+y≤1/2. Merci.

Posté par
flight
re : Logique 09-10-15 à 14:14

j'ai simplement pensé que dans tout les cas un des termes de la somme sera forcement 1/2  
que ce soit x ou y ou z ou (x+y) ou (x+z) ou (y+z)

Posté par
GreenT
re : Logique 09-10-15 à 14:27

Bonjour ;
Il y a une erreur , non ?  Si x 1/2 , alors y+z 1/2

Posté par
flight
re : Logique 09-10-15 à 16:36

effectivement GreenT , erreur de ma part ! désolé

Posté par
alb12
re : Logique 09-10-15 à 17:22

salut, penser à l'inegalite de Cauchy-Schwarz

Posté par
alb12
re : Logique 09-10-15 à 17:56

... ou bien à l'inegalite arithmetico-geometrique

Posté par
feitan
Solution 09-10-15 à 23:17

Oui ... il suffit de remplacer le 1 dans les deux numérateurs par x+y+z de cette façon on aura 3+(y/x)+(x/y)+(z/x)+(x/z)+(z/y)+(y/z)
(En utilisant l'inégalité x+1/x>=2 on aura la somme >=9

Posté par
alb12
re : Logique 10-10-15 à 08:45

oui bien vu



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