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Longueur d'une courbe.

Posté par
stefioune
21-06-09 à 14:37

Bonjour,

Je ne suis qu'en terminale S, cependant je me posais une question, et j'ai pensé que je trouverai surement une réponse sur le forum de Maths supérieures.

Comment calculer la longueur d'une courbe quelconque délimitée entre deux abscisses ?
Exemple : pour y = k, avec k un réel, la longueur de la courbe vaut L = b - a, avec a,b deux bornes telles que a < b.

Alors après avoir un peu réfléchis au sujet, j'ai tout d'abord pensé à utiliser l'intégration; cependant, à part pour le cas du trapèze ou du rectangle (donc pour des fonctions constantes ou affines) -où les formules reliant aires et hauteurs sont connues-, je n'arrive pas à en déduire la longueur de la courbe.

Je ne vous demande pas de me donner la solution, je compte la trouver seul, mais avec quelques pistes.

Merci par avance !

Stef

Posté par
Camélia Correcteur
re : Longueur d'une courbe. 21-06-09 à 14:47

Bonjour

C'est bien une histoire d'intégration, mais bien plus compliquée que tu ne le crois... Cherche quelque part "intégrales curvilignes" et vois si tu accroches!

Posté par
jamo Moderateur
re : Longueur d'une courbe. 21-06-09 à 15:20

Bonjour,

voir ici par exemple :

Si on a une fonction f et C sa courbe représentative, il existe bien une intégrale qui permet de calculer la longueur d'un morceau de cette courbe.
Mais malheureusement, à part le cas de fonction assez simples, cette intégrale n'est en général pas calculable de manière exacte.

Posté par
stefioune
re : Longueur d'une courbe. 21-06-09 à 15:46

Ok, je vais étudier tout ça et je reviendrai poster des questions si j'ai des soucis.
Merci beaucoup,

Stef

Posté par
stefioune
re : Longueur d'une courbe. 24-06-09 à 19:43

Arf, ça me tue de dire ça mais l'article sur Wikipedia qui traite de l'intégrale curviligne ne m'a pas du tout parlé.
Honnêtement, je n'ai rien compris du tout.
N'y a-t-il pas d'autres moyens d'y parvenir ?

Posté par
jamo Moderateur
re : Longueur d'une courbe. 24-06-09 à 20:12

Bon, c'est vrai que l'article est peut-être un peu long et dense.

Va dans la section "Formulation" :

Soit f la fonction de la variable t, C sa courbe représentative, et a et b les deux bornes.

Alors la longueur de l'arc de courbe entre a et b est donné par L = intégrale de a à b de racine(1+f'(t)²).

Et voilà ! Donc, quelle que soit la fonction f (du moment qu'elle soit continue et dérivable entre a et b), on peut toujours calculer la longueur de l'arc de courbe par cette intégrale.

Posté par
stefioune
re : Longueur d'une courbe. 22-07-09 à 19:22

Je réponds avec pas mal de retard, je reviens de vacances.
Je n'ai pas très bien compris ce que c'était que deux fonctions coordonnées dans la phrase :

Citation :
E désigne un plan euclidien, la fonction f peut s'exprimer à l'aide de deux fonctions coordonnées, de I dans R


D'autre part, comment déterminer lesdites fonctions ?
Merci d'avance

Stefioune

Posté par
jamo Moderateur
re : Longueur d'une courbe. 23-07-09 à 14:49

D'où vient cette phrase ?

Posté par
zamot
re : Longueur d'une courbe. 23-07-09 à 15:23

Citation :
D'où vient cette phrase ?


Ça m'intrigue aussi.

Peut-être f(x)=(f_1(x),f_2(x)) (f_1 et f_2 sont les fonctions coordonnées.)

Posté par
zamot
re : Longueur d'une courbe. 23-07-09 à 15:30

Si f n'est pas dérivable, on peut toujours essayer de s'en sortir en prenant une subdivision la plus fine possible de [a,b] et en sommant les lignes polygonales :

Soit \sigma=\{x_0=a,x_1,...,x_{n-1},x_n=b\} une subdivision de [a,b]

On considère \lambda_{\sigma}=\Bigsum_{i=0}^n ||x_{i+1}-x_i||

Alors L_{\sigma}=\sup_{\sigma} \lambda_{\sigma}

Posté par
Camélia Correcteur
re : Longueur d'une courbe. 23-07-09 à 16:46

Rebonjour

Pour décrire une courbe plane, on peut la donner sous forme paramétrique f(t)=(f_1(t),f_2(t)) avec t décrivant un intervalle, (par exemple f(t)=(cos(t),sin(t)) avec t\in [0,2\pi] est un cercle) ou sous forme implicite donnée par une équation. le cercle: ensemble des (x,y) tels que x^2+y^2=1. C'est la première forme qui est la plus maniable pour calculer la longueur.

Posté par
Ulusse
re : Longueur d'une courbe. 27-07-09 à 15:12

Pour s'en persuader: pour un point matériel se déplaçant dans le plan (ou l'espace), sur un déplacement infinitésimal, le trajet parcouru est ||v.dt|| où v est la vitesse. Donc le déplacement total est donné par l'intégrale entre t1 et t2 de ||v||dt. (dans le cas d'un arc paramétré, "v" revient à  "dOM/dt".

La démonstration rigoureuse de ce résultat n'est pas très compliquée pour un arc C1, en considérant le sup des longueurs des arcs polygonaux inscrits. (cf. le post de Zamot). On utilise des intégrales et on raisonne par double inégalité et passage au sup en prenant une subdivision régulière, et grace au caractère C1.

Tu peux le trouver ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/Longueur_d'un_arc
au paragraphe Définition de Jordan.

Posté par
matovitch
re : Longueur d'une courbe. 27-07-09 à 15:38

Salut à tous !
Et moi qui avait conçu un exo jamais fait dessus !
Voici un exo pour comprendre comment calculer la longueur d'une courbe : Exo : Longeur et centre de gravité d'une courbe
La partie B porte sur la position du centre de gravité de la courbe.



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