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Mathématique financière - intérêts

Posté par
welwitsha88
22-02-15 à 22:21

Bonjour,
J'ai un problème à résoudre mais je ne sais pas trop par ou commencer...(ce sont les deux taux d'intérêts qui me mélangent !)


Dans quatre ans, Sonia, Marie-José et Sophie s'achèteront un chalet près du lac. Le chalet coûtera 150 000$ et chacune déboursera 50 000$. Sonia a de l'argent en banque qu'elle fera fructifier de façon à payer sa part dans 4 ans. Marie-José économisera un montant à la fin de chaque mois et Sophie économisera un montant à la fin de chaque trimestre. Le taux d'intérêt est de 12% (capitalisé mensuellement) pour les deux premières années et de 8% (capitalisé trimestriellement) pour les deux années suivantes.

a) Combien d'argent Sonia a-t-elle dans son compte de banque aujourd'hui?

b) Sachant que pour payer sa part, Marie-José économisera toujours le même montant à la fin de chaque moi pendant quatre ans, déterminez le montant mensuel requis pour Marie-José.

c) Sachant que pour payer sa part, Sophie économisera toujours le même montant à la fin de chaque trimestre pendant quatre ans, déterminez le montant trimestriel requis pour Sophie.

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 22-02-15 à 22:39

bonsoir

Nous devons analyser séparément le cas de SONIA et le cas de MARIE-JOSE et le cas de SOPHIE séparément.

En effet les deux taux se mélangent : devons nous appliquer la méthode des intérêts simples ou des intérêts composés et la méthode du taux proportionnel ou du taux équivalent.


A - CAS DE SONIA

QUELLE est la somme qu'elle possède actuellement qui produira au taux de 12 % et 8 % la somme de 50 000 $ dans quatre ans.

B - CAS DE MARIE-JOSE

QUELLE est votre position sur la solution du cas de MARIE-JOSE

Posté par
welwitsha88
re : Mathématique financière - intérêts 23-02-15 à 22:10

Oui je comprends qu'il faut analyser les cas séparément, ce qui me pose problèmes, c,est surtout, est-ce que je dois commencer mes calculs avec le 12% ou avec le 8% ?  (commencer du temps 0 vers l'année 4 ou le contraire ? )

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 24-02-15 à 09:49

Vos doutes sont légitimes.

La solution dépend du cas étudié.

A - CAS SONIA

Pour SONIA on peut partir

a) soit de la fin avec un capital acquis de 50 000 $
b) soit de l'époque "0" avec un capital actuel "x"

...et........ à titre de vérification faire l'autre méthode pout trouver le même résultat.

B et C - CAS DE MARIE-JOSE et SOPHIE

La démarche sera identique dans les deux cas.

Personnellement je partirai de l'époque "0" pour trouver le capital acquis de 50 000 $.
(de tête je vois pas immédiatement la formule de calcul à utiliser à partir du capital acquis de 50 000 $ ....en couchant les calculs sur une feuille de papier ......j'y arriverais...peut être).

Posté par
laulau1983
Aide 16-03-15 à 08:46

J'ai le même problème et je ne sais pas par où commencer. Quelqu'un peut me donner un coup de main???

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 16-03-15 à 09:23

Bonjour

Quel est le début de votre analyse de la situation financière ?

Posté par
laulau1983
re : Mathématique financière - intérêts 16-03-15 à 19:47

Pour le cas de Sonia
Étant donne que je sais que la valeur future sera de 50 000$, jessaie de trouver la valeur actuelle.... Mais je bloque avec les deux taux d'intérêt...
Je pensais a quelque chose comme ça...
50 000 =  PMT [1-(1+i)^-n]/i + PMT [1-(1+i)^-n]/i (1+i)^-n



Pour les cas de MJ et Sophie, la formule sera la même
Soit quelque chose comme...
PV = PMT [1-(1-i)^-n]/i + PMT [1-(1-i)^-n]/i (1-i)^-n

Posté par
laulau1983
Eureka 16-03-15 à 20:15

Bon, j'ai trouvé pour les cas de MJ et Sophie... 😃

Ggrrrrrrr pour Sonia....

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 16-03-15 à 21:54

Vous utilisez les mêmes formules pour Mj-Sophie ET AUSSI pour SONIA : les cas ne sont pas IDENTIQUES.

OR pour SONIA elle possède DEJA le capital qui au bout de 4 ANS donnera la somme de 50 000 $.

Si on dit que le capital d'origine est "C", quelle est le montant de ce capital, au bout de 2 ans et ensuite au bout de 4 ans, qui donnera une valeur acquise de 50 000 $ ?

Posté par
laulau1983
re : Mathématique financière - intérêts 16-03-15 à 22:15

Ouais finalement j'ai utilisé d'autres formules...

Sophie et MJ...

Sonia est ce que PV = FV (1+i) ^-n (1+i) ^-n ?????

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 17-03-15 à 09:10

Pour SONIA : exact

Oui la simple formule de calcul de la valeur actuelle à partir du capital acquis.

Posté par
gab2007
Meme problème 28-05-15 à 20:31

Bonjour

j'ai moi aussi ce problème et pour Sonia ,je comprend, mais pour les deux autre je ne comprend absolument rien , quelque voudrais bien m'éclairer svp?  merci

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 28-05-15 à 22:16

Bonsoir

L'analyse du cas de MARIE-JOSE se résume de la façon suivante :

a) Marie-JOSE n'a pas de capital de départ
b) les versements sont mensuels et tous égaux pendant 4 ans
c) il faut tenir compte de taux mensuels équivalents
d) au bout de 4 ans le capital acquis est de 50 000

CONCLUSION : on a deux périodes de capitalisation à des taux équivalents différents
a) "m" le montant de la mensualité
b) une première période capitalisation (taux équivalent 12 %) et ce capital est ensuite capitalise (taux équivalent 8 %)
c) une deuxième période capitalisation (taux équivalent 8 %)
d) capital acquis 50 000

Il faut établir la formule de calcul : quelle est votre démarche ?

Posté par
gab2007
re : Mathématique financière - intérêts 29-05-15 à 00:21

Allo

jai fait la formule pmt((1+x)^n-1/x))(1+z)^n + pmt((1+z)^n-1/z
x étant mon taux de 12% et z mon taux transformé de 8% sauf que lorque je met mes chiffres dedans ma réponse est illogique et de la je ne comprend plus ou modifier ma formule

merci

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 29-05-15 à 10:36

Bonjour

CAS MARIE-JOSE : VOTRE FORMULE EST EXACTE - ERREUR DE CALCUL

1) PREMIERE PERIODE

Le placement est le suivant :

On a :

"m" la mensualité
taux intérêt annuel = 12,00   % soit 0,12   pour 1
taux intérêt mensuel équivalent = 1,12 ¹′¹²  = 1,009488793 soit 0,00948879293 pour 1 soit 0,9488792935   % par mois

A) Capital acquis à la fin de la première période de 2 ans :

Nous avons la formule suivante :

C(1) =  m *  [   (1+i) ⁿ  -  1  ]     /  i

avec :

n = 24  
i = 0,0094887929  
(1+i) = 1,0094887929  
(1+i)ⁿ = 1,2544000000  

On a

C(1) = m * [ 1,2544 -1   ]  / 0,009488793
C(1) = m * [ 0,2544   ]   / 0,009488793
C(1) = m * 26,81057557

B) Capital acquis à la fin de la deuxième période de 2 ans

Le montant du capital trouve au A) ci-dessus est placé pendant 2 ans au nouveau taux.

* nombre de mois : 24  
taux intérêt semestriel = 8,00   % soit 0,08   pour 1
taux intérêt mensuel équivalent = 1,08 ¹′⁶  = 1,012909457 soit 0,01290945696 pour 1 soit 1,2909456963   % par mois


On a :

C(2) =  C(1) * (1+t)²⁴

avec :

t = 0,012909457
(1+t)  = 1,012909457
(1+t)²⁴  = 1,36048896

on a :

C(2) =  C(1) * (1+t)²⁴

C(2) =  m * 26,81057557 * 1,36048896
C(2) =  m * 36,47549207


2) DEUXIEME PERIODE

Le placement est le suivant  :

On a :

"m" la mensualité
taux intérêt semestriel = 8 % soit 0,08 pour 1
taux intérêt mensuel équivalent = 1,08 ¹′⁶  = 1,012909457 soit 0,01290945696 pour 1 soit 1,2909456963   % par mois

Capital acquis à la fin de la  période de 2 ans :

Nous avons la formule suivante :

C(3) =  m *  [   (1+i) ⁿ  -  1  ]     /  i

avec :

n = 24
i = 0,0129094570  
(1+i) = 1,012909457
(1+i)ⁿ = 1,36048896  

On a

C(3) = m * [ 1,36048896 -1   ]  / 0,012909457
C(3) = m * [ 0,36048896   ]   / 0,012909457
C(3) = m * 27,92440929

3) CALCUL DE LA MENSUALITE

Le placement permet d'avoir un capital acquis de 50 000

On a :

50 000,00   = C(2)  +  C(3)

50 000,00   =   [ m * 36,47549207 ] + [  a * 27,92440929 ]
50 000,00     =  m   ( 36,47549207 + 27,92440929 )
50 000,00   =   m  * 64,39990136
50 000,00   / 64,39990136 = m
776,39870   = m

La mensualité est de 776.40

ET....à titre de vérification faire le tableau de capitalisation......

Posté par
gab2007
re : Mathématique financière - intérêts 29-05-15 à 16:19

Merci bien pour ton aide

1 er je me suis rendu compte que j'avais mal converti mon 1 er taux donc ca change la donnée,
2 ieme je prenais ma formule en 2 temps avec 2 fois le 50 000 alors qu'au final je  dois la prendre dans un temps
3 ieme le .08 toi tu a pris une taux semestrielle, mais c'est en fait un trimestrielle  
4 ieme j'Arrive avec une mensualité différente de toi lié a la différence entre le semetrielle et le trimestrielle . la mienne est de 872.10

bonne journée ou soirée dépendamment ou tu es dans le monde

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 29-05-15 à 16:46

Bonjour

UNE REPONSE CERTAINE : je suis en FRANCE

UNE DEUXIEME REPONSE A CONTROLER :

Revoir le calcul de 872.10.

En effet si le taux de placement est de 8 % par trimestre soit 2,8955 % par mois (c'est pas un taux actuel de placement en FRANCE) .....la mensualité de placement doit BAISSER et non pas AUGMENTER.

On doit trouver 607,01147

A vous lire

Posté par
gab2007
re : Mathématique financière - intérêts 29-05-15 à 17:09

Bonjour

la tu viens de me perdre.  mon taux de 8 % est capitalisé trimestriellement .  comme je veux l'apporter au meme niveau que mon 12% qui était mensuellement, je rammène mon taux de 8% capitalisé semestriellement pour avoir mon taux périodique ( mensuelle ) donc mon 8% devient 0.00623 ou 0.66227% par mois on est d'Accord la dessus?

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 29-05-15 à 18:46

"JE" comprends l'énoncé de cette façon :

Dans la méthode des INTERETS COMPOSES et la méthode du TAUX EQUIVALENT on a :

1) Taux annuel (taux capitalisé une fois par an) égal à : 12,00   % soit 0,12   pour 1

On a un taux équivalent mensuel (capitalisé 12 fois dans une année) de :

1,12   ¹′¹² = 1,009488793
soit un taux mensuel équivalent de 0,009488793 pour 1 soit 0,948879293 %.


2) Taux trimestriel (taux capitalisé une fois par trimestre) égal à : 8,00   % soit 0,08   pour 1

On a un taux équivalent mensuel (capitalisé 3 fois dans un trimestre) de :

1,08   ¹′³ = 1,025985568
soit un taux mensuel équivalent de 0,025985568 pour 1 soit 2,598556801 %.




Je ne trouve pas votre mode de calcul de 0,00623 et de 0,66227 %. Pouvez vous me donner vos calculs.

Posté par
gab2007
re : Mathématique financière - intérêts 29-05-15 à 18:56

allo

ok 1 on est d'Accord et on a le meme résultat

en 2 jai un taux de 8% capitalisé trimestriellememt , donc 4 fois par année
(1+0.08/4)^4= (i+I2/M2)^12  (I2 M2 signifiant seulement le deuxieme taux)
donc : (1.02)^4/12 =1
       1.0066233-1= i
.0006623 me sers a mon calcul pour chaque mois

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 29-05-15 à 20:43

"VOTRE" explication est la suivante

On a un taux de 8,00   % capitalisé trimestriellement
On considère que le taux de 8,00   doit être divisé par 4 trimestres
* soit un taux par trimestre de 8,00     %  / 4 = 2,00   % et 0,02   pour 1
* ET soit un taux annuel de 1,02   ⁴   = 1,08243216
* ET soit un taux mensuel de 1,08243216 ¹′¹²  = 1,00662271 - 1 = 0,00662271 pour 1 ou 0,662270956 % par mois.

Quand on analyse en détail votre calcul, on constate :

a) que vous considérez le taux de 8,00   % comme un taux annuel puisque vous le divisez ensuite par 4 pour avoir un taux trimestriel

b) la division par 4  faite au a) ci-dessus peut êre assimilée à un taux calculé suivant la méthode du taux proportionnel
et non pas un taux calcule suivant de la méthode du taux équivalent

c) ensuite pour calculer le taux annuel de 0,08243216 pour 1 soit 8,243216 % par an vous appliquez
la méthode du taux équivalent


En France on ne pratique pas comme cela.

J'ai refais les calculs avec un taux de 0,662270956 % par mois pour la deuxième période de placement
et le montant de la mensualité est de 872,10306   arrondie à 872,10 résultat que vous avez trouvé.  

"JE" formule toutes mes réserves sur le résultat de 872,10   à la suite de la détermination du taux d'intérêt de la deuxième période.

Posté par
gab2007
re : Mathématique financière - intérêts 29-05-15 à 20:57

"JE" Crois avoir la bonne méthode , mais vous me faites douter ! Par conséquent je vais réfléchir au comment, vous voyiez l'affaire.

Merci pour l'aide et l'échange, cest souvent un bon moyen de valider si j'ai bien assimiler ou pas

Ce fût un plaisir!

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 17-07-16 à 14:32

Bonjour,

Afin d'avoir bien saisi la formule concernant Sonia je note :

PV = FV(1+i)^-n(1+i)^-n  ???

PV = 50 000 (1+012/12)^-12x2 (1+0.08/4)^-4x2
PV = 50 000 (1.01)^-24 (1.02)^-6
PV = 50 000 (0.787566)(0.853490)

PV = 33609 $

Est-ce que j'ai bien compris pour cette partie là ??

Merci pour vos réponses

Passionnée

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 17-07-16 à 17:20

Bonjour PASIONNEE

Les mathématiques financières demandent  des connaissances dites "mathématiques" mais aussi font appel à des "CONVENTIONS".

Je prendrais  comme exemple le code de la route.

En France, par convention, les véhicules automobiles circulent à "DROITE".
Dans "certains pays", par convention, les véhicules circulent à "GAUCHE".

Quand un conducteur Français va dans ces "certains pays" et qui conduit "sagement "à DROITE……ACCIDENT……

Il en est de même pour les mathématiques financières quand il s'agit d'appliquer des "CONVENTIONS"

I - ANALYSE DES CONVENTIONS SOULEVEES DANS CE PROBLEME

A) PREMIERE CONVENTION : taux d'intérêt (capitalisé mensuellement)

a) le taux de 12 % est pour quelle période

b) pour calculer le taux mensuel on utilisera la méthode :
* soit du taux proportionnel
* soit du taux équivelent

c) le taux mensuel s'élèvera à :

d) le taux de 8 % est pour quelle période

e) pour calculer le taux mensuel on utilisera la méthode :
* soit du taux proportionnel
* soit du taux équivelent

f) le taux mensuel s'élèvera à :

B) PREMIERE CONVENTION : taux d'intérêt : LA SOLUTION APPLIQUEE

a) le taux de 12 % est pour une période de…………………………………………

b) pour calculer le taux mensuel on utilisera la méthode :……………………………………………..

c) le taux mensuel s'élèvera à :………………………………………….

d) le taux de 8 % est pour une période de…………………………………………

e) pour calculer le taux mensuel on utilisera la méthode :……………………………………………..

f) le taux mensuel s'élèvera à :………………………………………………….


Afin de poursuivre la solution de ce problème JE VOUS DEMANDE de m'indiquer quelles sont les
conventions  appliquées en répondant à la question B) paragraphes a, b, c, d, e et f.

A vous lire

Posté par
geegee
re : Mathématique financière - intérêts 17-07-16 à 19:10

Bonjour

Cas sonia:
(1+0,12/12)^24*(1+0,08/3)^8*x=50000

Comme vous avez deja proposee des sol je proposerais 664,63 euros/mois

Posté par
geegee
re : Mathématique financière - intérêts 17-07-16 à 19:11

Bonjour

Pour sonia
31902.2euros

Posté par
geegee
re : Mathématique financière - intérêts 17-07-16 à 19:32

Pour sonia

33609,01 euro

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 19-07-16 à 00:04

Bonjour Macontribution,

Merci pour votre questionnement
a) taux nominal 12% capitalisé mensuellement sur 2 ans
b) méthode :  le taux doit être identique à la période de versements (ici mensuel ) et je ne sais pas j'ai fait 0.12/12 qui me donne 0.01 ? car c'est déjà capitalisé mensuel comme les versements. (je ne sais pas si autrement)
c) 8 % pour 2 ans
e) méthode
(1+I1/m1)^m1 = (1+I2/m2)^m2
(1+0.08/4)^4    = (1+I2/m12)^12    = (1.02)^4/12  = (1+i)
(1.02)^0.333333 = 1+i    = (1.006623) - 1 = i
0.006623 = 1 pour la méthode
f) = i = 0.006623 pour les 2 années à 8%



Bonjour Geegee,

Quelle est ta réponse finale ?? -))

Posté par
Vertigo
re : Mathématique financière - intérêts 26-07-16 à 12:32

Bonjour à tous,

Voilà un énoncé bien mal rédigé, puisqu'il recèle une double ambiguïté sur les taux qu'il indique, et qui n'a donné lieu, jusqu'à présent, à aucune réponse complète.
Ce problème est néanmoins intéressant, car il permet de mettre en évidence qu'il est possible d'actualiser des suites d'échéances constantes régulièrement échelonnées au moyen de taux périodiques se rapportant à des périodes différentes de celles qui concernent l'échelonnement des paiements.

1ère ambiguïté de l'énoncé :
Il ne précise pas à quelle durée se rapportent les deux taux de capitalisation successifs indiqués de 12% puis 8%. S'agit-il de taux annuels, trimestriels, mensuels ?. Toutes les hypothèses sont possibles. La vraisemblance me porte à croire, cependant, que ce sont des taux annuels, et c'est la seule hypothèse que j'envisagerai sur ce point.
2ème ambiguïté de l'énoncé :
Ces 2 taux (supposés annuels) doivent-ils être considérés comme des taux actuariels annuels (encore appelés équivalents annuels) ou comme des taux proportionnels annuels ?
Selon la 1ère hypothèse (taux actuariels annuels), ils signifieraient que les variations relatives des encours et des flux associées à un intervalle de temps d'une année sont respectivement de 12% et de 8%.
La loi d'actualisation qui découle de cette 1ère hypothèse est alors parfaitement définie et s'exprime par la relation générale suivante :
Kt = K0(1+r)^((t-to)/L) (1)
dans laquelle r est le taux actuariel annuel considéré, Kt la valeur acquise à l'instant t par le cash-flow, l'encours ou le flux qui avait  pour valeur actuelle K0 à l'instant t0, et L est la durée d'une période annuelle.
Dans les cas d'espèce spécifiés, les loi d'actualisation afférentes respectivement à chacun de ces deux taux ont pour expression :
Kt = K0[1,12)^ [(t-t0)/L] pour le 1er taux actuariel annuel de 12% (L étant la durée d'une période annuelle), et :
Kt = K0[1,08)^ [(t-t0)/L] pour le second taux actuariel annuel de 8%.
Mais alors, puisque ces 2 taux suffisent, à eux seuls et en l'absence de toute autre indication, à définir complètement les lois d'actualisation qui en découlent (en pareil cas, on dit que ce sont des paramètres d'actualisation “intrinsèques” de l'opération financière considérée), à quoi bon spécifier que pour le 1er d'entre eux, la capitalisation est mensuelle, et pour le second trimestrielle. La spécification des périodes associées à chacun de ces 2 taux n'aurait aucune raison d'être dans cette 1ère hypothèse, et c'est ce qui me porte à croire qu'elle est peu vraisemblable. Je la traiterai néanmoins de façon complète.

Seconde hypothèse : Ces 2 taux sont des taux annuels proportionnels respectivement :
-au taux actuariel de période mensuelle de 12%/12=1% pour le premier d'entre eux,
-au taux actuariel de période trimestrielle de 8%/4=2% pour le second d'entre eux.
Selon cette seconde hypothèse, la plus vraisemblable à mon sens, l'indication des périodes associées respectivement à chacun de ces 2 taux devient nécessaire pour définir les lois d'actualisation respectives qui en découlent, et prend alors tout son sens.
Ces 2 lois d'actualisation sont conformes à la relation générale suivante :
Kt = K0[(1+r'(p/L)]^[(t-t0)/p] (2)
dans laquelle r' est le taux proportionnel annuel considéré, Kt la valeur acquise, à l'instant t par le cash-flow, l'encours ou le flux qui avait  pour valeur actuelle K0 à l'instant t0, p est la durée de la période conventionnelle associée à ce taux proportionnelle r', et L est la durée d'une période annuelle.
Dans les cas d'espèce spécifiés dans l'énoncé, ces lois d'actualisation deviennent respectivement :
Kt = K0[1,01)^ [(t-t0)/p] pour le 1er taux proportionnel annuel de 12% (p étant la durée d'une période mensuelle), et :
Kt = K0[1,02)^ [(t-t0)/p'] pour le second taux proportionnel annuel de 8% (p' étant la durée d'une période trimestrielle)

Ces remarques liminaires étant posées, il devient possible, alors, de traiter les 3 questions de l'énoncé.
(Voir prochain post  afin de limiter le volume de chacun d'eux.)

Cordialement .. à suivre ..

Vertigo

Posté par
Vertigo
re : Mathématique financière - intérêts 26-07-16 à 12:37

Suite Sonia, Marie-Jo et Sophie ..

1ère hypothèse : Les deux taux successifs de 12% et 8% sont des taux actuariels annuels.
1-a) Cas de Sonia :
Le coefficient d'actualisation afférent aux 2 premières années de son placement est, par application de la loi d'actualisation générale (1) ci-dessus :
CA1 = 1,12^2
Celui afférent aux 2 années suivantes, par application de la même loi d'actualisation générale (1), a pour expression :
CA2 = 1,08^2
Le coefficient global est :
CA = CA1 * CA2.
L'avoir initial K de Sonia doit donc être tel que :
K * CA1 * CA2 = 50000$, d'où l'on tire immédiatement :
K = 50000$ / (CA1 * CA2) = 34173,26 $

1-b) Cas de Marie-Jo :
La valeur acquise VA de ses 48 mensualités de montant constant m, aux taux successifs de 12% équivalent annuel pendant les 2 premières années, puis 8% équivalent annuel pendant les 2 années suivantes est donnée par :
VA = m\cdot \frac{1,12^{2}-1}{1,12^{\left ( 1/12 \right )}-1}\cdot 1,08^{2} + m\cdot \frac{1,08^{2}-1}{1,08^{1/12}-1}

Soit :
VA = m\cdot \left [ \left ( \frac{1,12^{2}-1}{1,12^{\left ( 1/12 \right )}-1} \cdot 1,08^{2}\right )+\left ( \frac{1,08^{2}-1}{1,08^{\left ( 1/12 \right )}-1} \right ) \right ]


L'équation d'équivalence des flux s'écrit :
m\cdot \left [ \left ( \frac{1,12^{2}-1}{1,12^{\left ( 1/12 \right )}-1} \cdot 1,08^{2}\right )+\left ( \frac{1,08^{2}-1}{1,08^{\left ( 1/12 \right )}-1} \right ) \right ] = 50000


d'où l'on tire :
m = 875,13 $

1-c) Cas de Sophie :
La valeur acquise de ses 16 trimestrialités de montant T, aux taux successifs de 12% équivalent annuel pendant les 2 premières années, puis 8% équivalent annuel pendant les 2 années suivantes est donnée par :
VA = m\cdot \frac{1,12^{2}-1}{1,12^{\left ( 1/4 \right )}-1}\cdot 1,08^{2}+m\cdot \frac{1,08^{2}-1}{1,08^{\left ( 1/4 \right )}-1}


Soit :
VA = m\cdot \left [ \left ( \frac{1,12^{2}-1}{1,12^{\left ( 1/4 \right )}-1} \cdot 1,08^{2}\right )+\left ( \frac{1,08^{2}-1}{1,08^{\left ( 1/4 \right )}-1} \right ) \right ]


L'équation d'équivalence des flux s'écrit :
m\cdot \left [ \left ( \frac{1,12^{2}-1}{1,12^{\left ( 1/4 \right )}-1} \cdot 1,08^{2}\right )+\left ( \frac{1,08^{2}-1}{1,08^{\left ( 1/4 \right )}-1} \right ) \right ] = 50000

d'où l'on tire :
T = 2646,73 $

2ème hypothèse : Les deux taux de 12% et 8% sont des taux annuels proportionnels respectivement au taux actuariel de période mensuelle de 1% pour le premier, et au taux actuariel de période trimestrielle de 2% pour le second.
Les lois d'actualisation résultant respectivement de chacun de ces 2 taux sont conformes à l'expression générale (2) donnée supra, soit (pour rappel), pour les taux spécifiés  :
Kt = K0(1,01)^ [(t-t0)/p] pour le 1er taux proportionnel annuel de 12% (p étant la durée d'une période mensuelle), et :
Kt = K0(1,02)^ [(t-t0)/p'] pour le second taux proportionnel annuel de 8% (p' étant la durée d'une période trimestrielle)

2-a) Cas de Sonia :
Le coefficient d'actualisation afférent aux 2 premières années de placement est, par application de la 1ère loi d'actualisation ci-dessus :
CA1 = (1,01)^ (24 mois/1mois) = 1,01^24
Celui afférent aux 2 années suivantes, par application de la 2ème loi d'actualisation ci-dessus, a pour expressions :
CA2 = 1,02^(8 trim/1trim) = 1,02^8
Le coefficient global
CA = CA1 * CA2.
L'avoir initial K de Sonia doit être tel que :
K * CA1 * CA2 = 50000$, d'où on tire immédiatement :
K = 50000$ / (CA1 * CA2) = 33609,01 $

2-b) Cas de Marie-Jo :
La valeur acquise de ses 48 mensualités de montant m, aux taux successifs de 12% annuel proportionnel au taux actuariel de période mensuelle de 1% pendant les 2 premières années, puis 8% annuel proportionnel au taux actuariel de période trimestrielle de 2% pendant les 2 années suivantes est donnée par :
VA = m\cdot \frac{1,01^{24}-1}{0,01}\cdot 1,02^{8}+m\cdot \frac{1,02^{8}-1}{1,02^{\left ( 1/3 \right )}-1}


soit :
VA = m\cdot \left [ \left ( \frac{1,01^{24}-1}{0,01} \cdot 1,02^{8}\right )+\left ( \frac{1,02^{8}-1}{1,02^{\left ( 1/3 \right )}-1} \right ) \right ]


L'équation d'équivalence des flux s'écrit :
m\cdot \left [ \left ( \frac{1,01^{24}-1}{0,01} \cdot 1,02^{8}\right )+\left ( \frac{1,02^{8}-1}{1,02^{\left ( 1/3 \right )}-1} \right ) \right ] = 50000

d'où l'on tire :
m = 869,21 $

2-c) Cas de Sophie :
La valeur acquise de ses 16 trimestrialités de montant T, aux taux successifs de 12% annuel proportionnel au taux actuariel de période mensuelle de 1% pendant les 2 premières années, puis 8% annuel proportionnel au taux actuariel de période trimestrielle de 2% pendant les 2 années suivantes est donnée par :
VA = m\cdot \frac{1,01^{24}-1}{1,01^{3}-1}\cdot 1,02^{8}+m\cdot \frac{1,02^{8}-1}{0,02}


soit :
VA = m\cdot \left [ \left ( \frac{1,01^{24}-1}{1,01^{3}-1} \cdot 1,02^{8}\right )+\left ( \frac{1,02^{8}-1}{0,02} \right ) \right ]


L'équation d'équivalence des flux s'écrit :

m\cdot \left [ \left ( \frac{1,01^{24}-1}{1,01^{3}-1} \cdot 1,02^{8}\right )+\left ( \frac{1,02^{8}-1}{0,02} \right ) \right ] = 50000


d'où l'on tire :
T = 2629,79 $

Sauf distraction ou erreur de calcul..
Cordialement

Vertigo

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 27-07-16 à 03:48

Bonjour Vertigo !

Un grand merci pour toute cette explication !
Pour ma part, j ai fait l'exercice avec la seconde hypothèse et mes chiffres s'alignent aux tiens ! ce qui me rassure !!
En tout cas merci à tous qui vous penchez sur nos questionnements -))

J'en ai 3 autres sur les investissements,  VAN , je commence à les faire voir si je comprends et en cas de pb , il est fort probable que je repasse ici -)

Cordialement
passionnée

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 02-08-16 à 00:28

Bonjour, Alors voilà un autre problème où j'ai de la difficulté  !!

L'entreprise ADM inc. a la possibilité d'entreprendre deux projets différents : le projet X et le
projet Y. Les projets ont les flux monétaires suivants :
Temps                 X                                   Y
0                              -9 000                 -9 000
1                            12 000                      0
2                                    0                           0
3                                    0                         15 870
a) Calculez la VAN de chacun des projets en supposant un taux d'actualisation de 14 % et
dites lequel des projets est préférable à partir de ce critère.
b) Déterminez le TRI de chacun des projets et dites lequel des projets est préférable à partir
de ce critère.
c) Quel taux de réinvestissement ferait en sorte que la valeur finale des flux monétaires des
deux projets serait la même au bout de trois ans?

1) Pour les VAn , je trouve VAn = 10526.32-9000 = 1526.32
Pour la VAN 2 je trouve Van = 10722.97-9000 = 1722.97

Après le Tri je n y arrive pas !! et la 3e ?
Pourriez vous m'aider ?

Passionnée

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 02-08-16 à 14:21

Bonjour

QUESTION a) : CALCUL DE LA VAN

1) PROJET  X

La VAN est de 10 526,31579 que je vous laisse arrondir.

2) PROJET Y

Donnez le détail de vos calculs.

3) QUELLE DEFINITION VOUS DONNEZ A LA "VAN"

QUESTION b) :  DETERMINATION du "TRI"

1) QUELLE DEFINITION VOUS DONNEZ AU "TRI"

2) QUELLE EST LA FORMULE GENERALE du "TRI"

3) APPLICATION

A) CALCUL DU TRI PROJET X

à faire

B) CALCUL DU TRI PROJET Y

à faire

QUESTION c)  : à faire plus tard

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 03-08-16 à 02:00

Bonjour Macontribution,

Voici mes calculs de la VAN :
Van 1 = (12000/(1+0.14)^1 + 0 + 0) - 9000 = 10526.32 - 9000 = 1526.32

Van 2 =(0 + 0 + 15870/1.14^3 ) - 9000 = 10722.97 - 9000 = 1722.97

La Van c'est la valeur actuelle nette

Pour le tri je reviens ! j'essaye encore !

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 03-08-16 à 03:10

Bonjour Macontribution,

Donc voilà, pour la Van, je dirais que le projet Y (2)  est préférable

Pour le Tri taux de rendement interne

j'ai fait :
X (1) : 12000/(1+tri)^1 - 9000 = 0
Avec la calculette cela me donne 33.33 %

Y(2) : 0+0+15870/(1+tri)^3 - 9000 = 0
Avec la calculette je trouve 20.81%

Je dirais donc qu'avec le tri le projet X serait préférable

Ai - je fait des erreurs ?

Passionnée

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 03-08-16 à 10:00

QUESTION a)

Projet Y  : erreur de calcul  pour 10 722,97

QUESTION b)

Projet X : TAUX 33,33 % exact
Projet Y : TAUX 20,812 % exact

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 04-08-16 à 03:33

Bonjour Macontribution,

Projet Y , ma calculette donne 1711.80 ?

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 04-08-16 à 08:21

QUESTION a)

Projet Y : VAN = 1 711.797 EXACT je vous laisse arrondir.

QUESTION c)

Quelle est votre analyse ?

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 05-08-16 à 01:16

Bonjour Macontribution,

Justement je ne la comprends pas !!
Vous pourriez peut-être m'orienter ?

Passionnée

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 05-08-16 à 08:22

QUESTION c)

La question demande le "taux de réinvestissement".
"JE" traduis ce taux par "TRI".

A) ANALYSE DU PROBLEME

* TROUVER le TRI qui permet d'avoir :

VAN Projet X = VAN Projet Y

B) MISE EN EQUATION

soit "t" pour 1 le TRI recherché

On a l'équation suivante :

à faire

C) RESOLUTION DE L'EQUATION

à faire

D) RESOLUTION DU PROBLEME

à faire

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 06-08-16 à 20:57

Bonjour Macontribution,

(12000/(1+i)^1 ))- 9000   = (15870/(1+t)^3) - 90000

(12000(1+i)^3)/(1+i)= 15870

12000(1+i)^2 = 15870
(1+i)^2 = 15870/12000
1.3225 = (1+i)^2

2racine de 1.3225 = 1+i
1.15 = 1+i
1.15-1 = taux de réinvestissement
0.15 = 15 % taux de réinvestissement

?

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 06-08-16 à 21:50

QUESTION c) : Exact

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 07-08-16 à 02:51

Merci Macontribution  de ce soutien !!!

J'en ai un autre -)  Projet d'investissement sur la construction d'un stade !!

Tout d'abord je vous donne l'explication de l'amortissement au Canada !

Catégorie d'actifs ou
classe d'amortissement              Nature des actifs                                   Taux d'amortissement
1                                                                Bâtiments acquis après 1987            4 %
3                                                                Bâtiments acquis avant 1988            5 %
6                                                                Bâtisse avec structure en bois        10 %
8                                                                 Machinerie                                                 20 %
9                                                                Avion, radar                                                 25 %
10                                             Matériel roulant, matériel informatique   30 %
12                                                            Vaisselles, ustensiles                             100 %
16                                    Taxis et voitures de location de courte durée 40 %
38                                                            Matériel mobile d'excavation           30 %
43                                                           Matériel de fabrication                           30 %

Par ailleurs, Depuis novembre 1981, le montant d'ACC déductible durant l'année d'acquisition d'un bien amortissable est réduit de moitié. Les entreprises ne peuvent donc réclamer pour la première année d'acquisition d'un bien que la moitié de l'allocation du coût en capital de ce bien. Cette règle est appelée la règle de la demi-année ou la règle du 50 %.

Je vais envoyer donc le prochain problème que j'essaye aussi de comprendre et j'essaye de faire -)

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 07-08-16 à 08:51

Bonjour PASSIONNEE

Je vais être désolé de ne pas pourvoir vous conseiller (utilement) pour ce dernier problème.

En effet, je connais (et je puis dire je connais "excellemment") la législation fiscale et la comptabilité française ; par contre je ne connais pas la législation fiscale du Canada et je ne veux pas formuler d'hypothèses erronées.

Si vous me soumettez votre problème, je vous indiquerai quelle solution serait appliquée en France.

A vous lire

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 09-08-16 à 03:04

Bonjour Macontribution,

Ce sera parfait -)

Jusqu'à maintenant cela m'a aidé pour la compréhension -)

Passionnée

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 10-08-16 à 01:36

Bonjour Macontribution,

Voici en premier lieu le contexte et par la suite ce que j'ai déjà fait !

On vous demande d'évaluer un projet d'investissement pour le compte de la compagnie
Esspos inc. Il s'agit de la construction d'un nouveau stade, qui coûterait 100 000 $ (avec un
taux d'amortissement dégressif de 4 %) et serait édifié sur un terrain payé 5 000 $ il y a 5 ans
et valant 7 000 $ actuellement. L'investissement nécessiterait également un ajout de 1 000 $
au fonds de roulement. Ce dernier serait traité comme une sortie de fonds additionnelle de
1 000 $, en début de projet.
Ce projet devrait augmenter les recettes nettes d'exploitation (avant impôts) de 15 000 $ à
la fin de chacune des années pendant 15 ans.
L'horizon d'évaluation est de 15 ans, au bout desquels on s'attend à ce que le terrain se vende
10 000 $ et que le bâtiment se vende à une valeur égale à son solde non amorti (soit environ
55 338 $). On s'attend également à récupérer le fonds de roulement en fin de projet. La
récupération du fonds de roulement serait traitée comme une rentrée de fonds de 1 000 $,
à la fin du projet.
L'entreprise exige un taux de rendement de 12 % sur ce type de projet et a un taux d'imposition
de 40 % (il n'y a pas de fermeture de classe).
Par prudence, vous supposez que 75 % de tout gain en capital sera imposable.
a) Déterminez la valeur de l'investissement en début de projet.
b) Estimez la valeur actuelle des flux monétaires durant le projet.
c) Évaluez la valeur actuelle des rentrées et des sorties de fonds à la fin du projet, sachant
que 75 % de tout gain en capital est imposé.
d) Calculez la VAN du projet et dites si le projet est intéressant.

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 10-08-16 à 01:38


a) Déterminez la valeur de l'investissement en début de projet.

Taux de rendement 12% 0,2
Valeur du terrain au moment de la construction du stade
5 000,00     il y a 5 ans 1,12
5000 (1+i)^5
5000 (1,12)^5
5 000,00  $ x 1,1762342 = 8 811,71  $

valeur actuelle du terrain =             8 811,71  $
coût de la construction du stade 100 000,00  $
Sortie de fonds                                     1 000,00  $

Valeur de l'investissement           109 811,71  $

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 10-08-16 à 01:50

Voici quelques définitions de notre cours :

FMGOP = flux monétaires générés par les opérations du projet
EIACC    = économies d'impôts liées à l'allocation du coût en capital

b) Estimez la valeur actuelle des flux monétaires durant le projet.

le calcul de l'amortissement :
1 100 000,00     0,02     2 000,00     98 000    
2 98 000,00     0,04     3 920,00     94 080    
3 94 080,00     0,04     3 763,20     90 317    
4 90 316,80     0,04     3 612,67     86 704    
5 86 704,13     0,04     3 468,17     83 236    
6 83 235,96     0,04     3 329,44     79 907    
7 79 906,52     0,04     3 196,26     76 710    
8 76 710,26     0,04     3 068,41     73 642    
9 73 641,85     0,04     2 945,67     70 696    
10 70 696,18     0,04     2 827,85     67 868    
11 67 868,33     0,04     2 714,73     65 154    
12 65 153,60     0,04     2 606,14     62 547    
13 62 547,45     0,04     2 501,90     60 046    
14 60 045,56     0,04     2 401,82     57 644    
15 57 643,73     0,04     2 305,75     55 338    

Puis le calcul pour les flux monétaires

Années FMGOP
                         av Impôts       Impôts FMGOP Amortiss. EIACC Flux monétaires  
                                (1)                 (2)                 (3)                  (4)       (5)                  (6)
                   Rev. - Dép.     0,40     (1) - (2)                        (4) * 40%   (3) + (5)

Année 1 15 000,00     6 000     9 000     2 000          800     9 800    
Année 2 15 000,00     6 000     9 000     3 920     1 568     10 568    
Année 3 15 000,00     6 000     9 000     3 763     1 505     10 505    
Année 4 15 000,00     6 000     9 000     3 613     1 445     10 445    
Année 5 15 000,00     6 000     9 000     3 468     1 387     10 387    
Année 6 15 000,00     6 000     9 000     3 329     1 332     10 332    
Année 7 15 000,00     6 000     9 000     3 196     1 279     10 279    
Année 8 15 000,00     6 000     9 000     3 068     1 227     10 227    
Année 9 15 000,00     6 000     9 000     2 946     1 178     10 178    
Année 10 15 000,00     6 000     9 000     2 828     1 131     10 131    
Année 11 15 000,00     6 000     9 000     2 715     1 086     10 086    
Année 12 15 000,00     6 000     9 000     2 606     1 042     10 042    
Année 13 15 000,00     6 000     9 000     2 502     1 001     10 001    
Année 14 15 000,00     6 000     9 000     2 402     961     9 961    
Année 15 15 000,00     6 000     9 000     2 306     922     9 922    


Je ne sais pas si c'est juste, mais c'est pour le moment ma compréhension -)

Posté par
macontribution
re : Mathématique financière - intérêts 10-08-16 à 19:18

Bonjour


PREMIERE CONSTATATION

Je ne peux pas me prononcer sur la validité juridique du calcul d' l'amortissement
dégréssif canadien que vous avez calculé. Je constate par contre, que la VALEUR NETTE COMPTABLE à la fin de 15e année est identique au montant donné dans l'énoncé.

QUESTION a)

a) valeur du terrain

5 000,00   * 1,12 ⁵= 5 000,00   * 1,762341683 = 8 811,7084   exact

b) valeur investissement

8 811,7084   + 100 000,00   + 1 000,00   = 109 811,7084   exact

QUESTION b)

a) la méthode de calcul du FMGOP est exacte

b) La méthode de calcul du EIACC est exacte

c) Détermination de la valeur annuelle des flux monétaires

En France la méthode de calcul est la suivante :

*1) RECETTES NETTES (avant impôt)  = 15 000,00  

*2) A déduire : DOTATION AUX AMORTISSEMENTS = 2 000,00  

*3) BENEFICE FISCAL (avant impôt) = 13 000,00  

*4) Impôt sur les sociétés : 40 %  de 13 000,00   = 5 200,00  

*5) BENEFICE NET COMPTABLE 7 800,00  

*6) A Réintégrer : dotation aux amortissements 2 000,00  

*7) CASH FLOW ou CAPACITE d'AUTOFINANCEMENT 9 800,00  


Votre méthode de calcul est différence MAIS ON TROUVE LE MEME RESULTAT

Posté par
Passionnee
re : Mathématique financière - intérêts 13-08-16 à 02:15

Bonjour Macontribution,


Je n'ai pas fait la valeur actuelle des flux monétaires durant le projet ??

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