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matrice

Posté par
qwerty321 26-02-09 à 16:20

Bonjour.
je voudrais avoir de l'aide pour cet exo

Soit a et b 2 nombres reels

on a les 2 matrices suivantes:

J= 0  a  b                    et A=   1  a  b
   0  0  a                            0  1  a
   0  0  0                            0  0  1


a) calculer J2 et J3

b) montrer par induction que (I+J)n=I+nj+((n(n-1))/2)J2 avec I la matrice identite(3*3). c'est la que je bloque le plus

c)deduire An pour tout n entier naturels

je remerci tout aide:D

Posté par
MatheuxMatoure : matrice 26-02-09 à 16:21

re-bonjour

tu fais plusieurs exos en même temps ?

Posté par
MatheuxMatoure : matrice 26-02-09 à 16:22

pour la question 2 (la 1 ne doit poser aucun problème... c'est du calcul), fais une récurrence

alain

Posté par
qwerty321re : matrice 26-02-09 à 16:22

hehe oui

bon pour a c'est facile je peux multipler J*J et J*J*J et j'aurai mes resultats.
mais b et c j'arrive pas

Posté par
qwerty321re : matrice 26-02-09 à 16:23

je fait une recurrence avec les matrices?

Posté par
MatheuxMatoure : matrice 26-02-09 à 16:24

(c) est évident une fois que (b) est fait... puisque A=I+J !

(b) : fais une récurrence

Posté par
MatheuxMatoure : matrice 26-02-09 à 16:25

pourquoi les matrices seraient exclues des raisonnement par récurrence !

fais une récurrence sur l'entier n...

Posté par
MatheuxMatoure : matrice 26-02-09 à 16:25

allez, on est parti :

pour n=0...

Posté par
qwerty321re : matrice 26-02-09 à 16:26

je doit montrer que (I+J)^(n+1)=I+(n=1)J+(n(n+1))/2  *j^2

Posté par
MatheuxMatoure : matrice 26-02-09 à 16:27

oui.. mais attend, une récurrence ça doit être rigoureux et dans l'ordre... on commence par l'initialiser (ici avec n = 0)

donc pour n = 0 ...

Posté par
qwerty321re : matrice 26-02-09 à 16:28

n=0  (I+J)^n=1
       et a droite ca fait I non"?

Posté par
MatheuxMatoure : matrice 26-02-09 à 16:29

on travaille sur des matrices.... (i+J)^0 c'est une matrice 3x3, ça ne peut pas valoir 1

Posté par
MatheuxMatoure : matrice 26-02-09 à 16:31

regarde dans ton cours la définition de la puissance n d'une matrice M

Posté par
qwerty321re : matrice 26-02-09 à 16:34

bon on a pas encore fait le cours sur les exposant (c'est demain qu'on va les faire) mais je vien de voir dans les definition et c'est ecri:

A^0=I donc pour la recurrence ca marche (initialisation)

une question: J^2 je doit fair J*J ou ya une utre methode?

Posté par
qwerty321re : matrice 26-02-09 à 16:42

t la?

Posté par
MatheuxMatoure : matrice 27-02-09 à 06:52

ben oui ! J²=J*J

et J^3=J²*J ....

(je vais être absent une semaine... désolé)

alain

Posté par
veledare : matrice 27-02-09 à 11:34

bonjour,
MatheuxMatou n'est plus là,je vais continuer si tu veux
1)tu dois trouver J^3=0_{M_{3}(R)}(J est triangulaire supérieure stricte de M_{3}(R))
2)tu peux aussi utiliser la formule du binôme (I et J commutant)
(I+J)^n=\bigsum_{k=0}^nC_n^kJ^kI^{n-k}
mais J^3étant la matrice nulle =>pour tout entier k3 on a J^k=0_{M_{3}(R)}
donc(I+J)^n=I+C_n^1J+C_n^2J^2 et tu auras l'égalité voulue..
3)A=I+J=>A^n=(I+J)^ndonc la question précédente te donneA^nen fonction de I,J,J^2si tu veux A^n
en fonction de AetA^2tu utilises J=A-I,J^2=(A-I)^2
tu peux aussi écrire le tableau des 9 coefficients de A^n

Posté par
MatheuxMatoure : matrice 27-02-09 à 17:18

certes Veleda (bonjour), mais je n'avais pas proposé cette solution car l'énoncé signalait "par induction"... et je présume qu'il entend par là une récurrence. Et comme notre ami a l'air de débuter sur le puissances de matrices, le développement du binôme me semblait prématuré... mais tu as raison, c'est le plus rapide.

alain

Posté par
veledare : matrice 27-02-09 à 17:25

bonjour MatheuxMatou,
désolée je pensais que tu étais parti pour 8 jours sinon je ne serais pas intervenue
pour 2) je ne fais que montrer l'existence d'une autre methode
pour 3)je ne comprends pas trop sous quelle forme il faut donner An

veleda

Posté par
MatheuxMatoure : matrice 27-02-09 à 18:08

tu as raison Veleda...

c'est vrai mais je ne pars que ce soir...

mais pas de problème pour ton intervention... (plus on est de fous !...)

bonne soirée

alain

Posté par
qwerty321re : matrice 27-02-09 à 19:50

oui c'est vrai je suis debutant et on vient de commencer les matrices..je peux avoir de l'aide dans l'induction?la recurrence je veux dire?
merci

Posté par
qwerty321re : matrice 27-02-09 à 19:52

alain merci pour tous vraiment!
veleda j'esper que tu pourra m'aider

Posté par
veledare : matrice 27-02-09 à 22:38

on reprend la récurrence
*initialisation:
pour n=0 (I+J)^0=I la formule est bien valable pour n=0     (P0)
*hypothèse de récurrence:
la formule est vraie au rang n
(I+J)^n=I+nJ+\frac{n(n-1)}{2}J^2 (Pn):
*hérédité:
il faut montrer que (Pn)=>(Pn+1)
en tenant compte de Pntu calcules(I+J)^{n+1}=(I+J)^n(I+J)=(I+nJ+\frac{n(n-1}{2}J^2)(I+J)=(I+nJ+\frac{n(n-1)}{2}J^2)+IJ+nJ^2+\frac{n(n-1)}{2}J^3
tu tiens compte du fait que J^3=0_{M_3(R)},tu regroupes les termes en J , les termes en J² et tu dois obtenir(I+J)^{n+1}=I+(n+1)J+\frac{(n+1)(n)}{2}J^2 (Pn+1)
tu refais la démonstration

Posté par
H_aldnoerre : matrice 27-02-09 à 23:35

HS : je tiens à féliciter veleda qui se débrouille de plus en plus avec le Latex

Posté par
qwerty321re : matrice 28-02-09 à 11:02

bon je vais essayer mnt

Posté par
veledare : matrice 28-02-09 à 11:36

>>H_aldnoer merci d'avoir remarqué mes quelques progrès en latex mais j'ai encore beaucoup à faire


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