Bonjour, mets I à gauche et factorise A dans A² - 3A, qu'obtiens-tu?

bonsoir,
c'est tout simple
AM_n(K)
la relation donnée peut s'écrire A(3I-A)=(3I-A)A=I donc il existe bien une matrice A^-1M_n(K)telle que AA^-1=A^-1A=I

bonsoir Tigweg
désolée je n'avais pas vu que tu étais là

Salut veleda!

Pas de problème, ça me fait plaisir de te voir!

Bonjour ;





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Bonjour,


Comme , l'inverse de A existe et vaut .

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Bonjour,

ça donne A(A-3I) = -I car I joue le même rôle pour les matrices que 1 dans R : c'est l'élément neutre de la multiplication.

On multiplie chaque membre par (-1) d'où:

A(3I-A) = I et donc A est inversible par définition, d'inverse 3I-A.

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Bonjour vous deux!

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A^2-3A+I=0
AA-3AI+AA^-1=0

A(A-3I+A^-1)=0

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Bonjour tout le monde

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merci

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D'ailleurs dès que tu as un polynôme annulateur (avec coefficient constant) tu peux déterminer l'inverse de A (en factorisant par A).



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Pour peu que A soit inversible, bien sûr
_A(A) = A^n + (Tr A) A^{n-1} + ... + (det A)I" alt="0 = _A(A) = A^n + (Tr A) A^{n-1} + ... + (det A)I" class="tex" />
On en déduit que , d'ailleurs (l'inverse de A est un polynôme en A).

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Ma remarque était suffisante en elle-même, s'il existe un polynôme annulateur possédant un coefficient constant (non nul j'entends) alors A est inversible (0 n'est pas racine), et réciproquement.



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