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Matrice

Posté par
bouli 08-05-09 à 13:14

Bonjour

On donne (Un) et (Vn) les suites définies par les relations
        U_n=\frac{1}{3}(2U_{n-1}+V_{n-1}) et  V_n==\frac{1}{3}(U_{n-1}+2V_{n-1}) et la donnée des réels U_0 et V_0
Calculr U_n et V_n en fonction de U_0 V_0 et n

Merci pour votre aide

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Matrice 08-05-09 à 13:22

Salut

Considérons le vecteur 3$X_n=\(U_n\\V_n\) et 3$A=\begin{pmatrix}2& 1\\1 & 2\end{pmatrix}

Ton système est équivalent à 3$X_n=AX_{n-1}=A^nX_0 par récurrence

Essaie de trouver A^n soit par conjecture, ou par diagonalisation ...

Posté par
infophilere : Matrice 08-05-09 à 13:23

Hello,

Met ça sous forme matricielle, t'auras la matrice carré (2,1,1,2) à calculer puissance n.

Posté par
infophilere : Matrice 08-05-09 à 13:24

salut momo

manque juste le (1/3)^n

Posté par
boulire : Matrice 08-05-09 à 13:24

Merci je vais essayer

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Matrice 08-05-09 à 13:26

Salit Kéké !

Oups, j'ai oublié aussi le 1/3 pour A ^^

Prêt pour l'X?

Posté par
matovitchre : Matrice 08-05-09 à 13:27

Bonjour !
On trouve u_n+v_n = u_{n-1}+v_{n-1} d'où u_n+v_v=u_0+v_0

et u_n-v_n = \fr{1}{3}\(u_{n-1}-v_{n-1}\)

d'où par addition u_n = \(\fr{1}{3^n}+1\)\(\fr{u_0+v_0}{2}\)

et v_n = \(1-\fr{1}{3^n}\)\(\fr{u_0+v_0}{2}\)

Posté par
matovitchre : Matrice 08-05-09 à 13:29

oups, pardon j'avais pas vu qu'il fallait utiliser les matrices.

Posté par
infophilere : Matrice 08-05-09 à 13:32

je passe pas l'X momo

Salut matovitch !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Matrice 08-05-09 à 13:34

Tant mieux ! Moi aussi, j'ai pensé à l'abandonner mais je l'ai payé

Posté par
matovitchre : Matrice 08-05-09 à 13:34

Salut infophile et bon courage (chance ) pour les concours !

Posté par
infophilere : Matrice 08-05-09 à 13:36

oui chance serait plus approprié vu qu'il me reste à passer les ENS

bon courage momo

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Matrice 08-05-09 à 13:37

Je passe pas les ENS
Merci et bon courage à toi aussi !
Salut matovitch

Posté par
boulire : Matrice 08-05-09 à 14:55

Pour calculer A^n on passe par A=2I_2+[[1,0][0,1]] sachant que je n'ai pas encore vu le déterminant

Posté par
boulire : Matrice 09-05-09 à 12:51

A=I_2+[[1;1][1,1]]

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Matrice 09-05-09 à 13:29

Re !

Oui c'est une bonne idée d'écrire: 3$A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\(I_2+\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)

Ainsi: 3$A^n=\frac{1}{3^n}\(I_2+\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)^n=\frac{1}{3^n}\Bigsum_{k=0}^nC_n^k\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}^{k}(2I_2)^{n-k} (on peut appliquer le binôme Newton car notre deux matrices commutent)


Or (ça c'est une matrice classique que dois t'en rappeler ...) pour tout entier m non nul: 3$\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}^{m}=m\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}


Ainsi: 3$A^n=\frac{1}{3^n}\Bigsum_{k=0}^nC_n^k\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}^{k}(2I_2)^{n-k}=\frac{1}{3^n}\(2^nI_2+\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\Bigsum_{k=1}^nkC_n^k2^{n-k}\)=

Je te laisse terminer, et n'oublie pas que 3$kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}

(Si tu connaissais la diagonalisation, on aurait pu faire mieux, mais bon ...)

Posté par
infophilere : Matrice 09-05-09 à 13:35

Pourquoi t'as un 2I2 momo ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Matrice 09-05-09 à 13:36

où ça?

Posté par
infophilere : Matrice 09-05-09 à 13:37

Quand tu développes avec le binôme.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Matrice 09-05-09 à 13:38

ah je viens de me rendre compte, c'est un 2 qui a accopagné toute la file à cause du copier coller du latex ... Il faut l'enlever bien entendu et donc àà la fin c'est I2 et nin 2^n * I_2

Merci Kéké

Posté par
infophilere : Matrice 09-05-09 à 13:40

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