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Matrice
je séche complétement , du début a la fin sur un exo d'algèbre.
voici l'énnoncé, si quelqu'un a le courage de m'aider...je voudrais particulièrement comprendre la méthode .
on travaille ds R3 soit &q lapplication linéaire que lon associe a la matrice :
Q= ( 1/9 4/9 -8/9)
-8/9 4/9 1/9
4/9 7/9 4/9
1) prouver que Q est une matrice orthogonale telle que det(Q)=1 donc &q définit une rotation de R3, on va checher à écrire une rotation sous forme réduite
2) déterminer l'axe D = { v appartient a R3 tel que &q(v)=v} de la rotation &q. expliciter un vecteur v3 engendrant D et tel que ||v3||=1
3) determiner le plan H = D (orthogonal en exposant) orthogonal a v3 et construire une base orthonormé de H. On notera (v1 v2) les vecteurs de cette base.
4) comment s'écrit la matrice de &q dans la base (v1 v2 v3) ? on sait déja que &q(v3)=v3 et il n'est pas nécessaire d'utiliser une formule de changement de base pour calculer les coordonnées des vecteurs &q(v1) et &q(v2) dans la base orthonormée (v1 v2 v3).
5) quel est l'angle de la rotation &q ?
désolé de la longueur de l'énoncé mais cet exo est vraiment difficile pour moi ...
Merci
Hello 
Calcule par exemple tQQ et montre que c'est l'identité.
Et le déterminant 3x3 tu sais le calculer non ?
Ensuite pour la 2) il s'agit de résoudre QX = X.
Je vais m'absenter, je te laisse des pistes pour la suite :
Après avoir résolu QX = X tu trouves D = Vect(v) avec v = (1,-2,-2) donc v3 = v/||v|| = (1/3,-2/3,-2/3)
D orthogonal c'est l'ensemble des vecteurs v(x,y,z) orthogonaux à v3 soit v.v3 = 0 donc x - 2y - 2z = 0 (c'est l'équation du plan).
Pour une base de H tu choisis deux vecteurs appartenant à H linéairement indépendant, par exemple (2,1,0) et (2,0,1).
On veut qu'elle soit orthonormée donc t'appliques le procédé de Gram-Schmidt et t'obtiens v1 = 1/V5(2,1,0) et v2 = 1/3V5(2,-4,5) et tu vérifies qu'ils sont bien orthogonaux.
Je te laisse réfléchir à la 4) je reviens plus tard 
Bon je termine :
Tu as q(v3) = v3 qui dirige l'axe de rotation, v1 et v2 ont vont tourner d'un angle theta (angle de rotation), et restent bien sûr dans le plan qu'ils forment. Donc q(v1) = (||v1||cos(t),||v1||sin(t),0) et comme on s'est arrangé pour qu'il soit unitaire on a q(v1) = (cos(t),sin(t),0). De même q(v2) = (-sin(t),cos(t),0). Fais un dessin pour mieux voir ce qu'il se passe.
Finalement dans cette base la matrice de Q a la forme usuelle : .
Comme la trace ne dépend pas de la base on a donc c'est une rotation d'angle pi/2.
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